2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8
2．（3分）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b
4．（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝6
6．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（ ）
A．6B．24C．36D．72
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．（3分）定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．或10C．10D．或
二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）
11．（2分）分解因式：2ax2﹣8a＝ ．
12．（2分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝ ．
13．（2分）当x＝ 时，分式的值为0．
14．（2分）课本上有这样一道例题：
作法：（1）作线段AB＝a
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC＝h．
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为 ．
16．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（ 不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 ；
（2）若∠A≠36°，当∠A＝ 时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（ 不包括△ABC）．（写出两个答案即可）
三、解答题（本题共12小题，共56分）
17．（4分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．
19．（3分）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
20．（4分）解分式方程：+1＝．
21．（4分）先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
23．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
24．（5分）列方程解应用题：
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．
25．（5分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．
26．（4分）阅读下列材料，然后回答问题：
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
＝＝＝﹣1．
＝＝＝﹣．
（一）还可以用以下方法化简：．
（二）
（1）请用不同的方法化简．
参照（一）式得＝ ；
参照（二）式得＝ ；
（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：
1．求的值；
2．化简：+++…+．
27．（6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．
小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．
请根据小明同学的思路直接写出DE的长．
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．
2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为 （①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．
（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；
（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）
（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）
2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
【解答】解：若分式有意义，则a﹣1≠0，即a≠1，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；
B、a•a2＝a3，正确；
C、3a6÷a3＝3a3，故此选项错误；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝6
【分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．
【解答】解：∵4+4﹣＝6，
∴选项A不符合题意；
∵4+40+40＝6，
∴选项B不符合题意；
∵4+＝6，
∴选项C不符合题意；
∵4﹣1÷+4＝4，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
6．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、是最简二次根式，正确；
B、不是最简二次根式，错误；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
7．（3分）已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（ ）
A．6B．24C．36D．72
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m+2n＝（am）3×（an）2
＝23×32
＝72．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；
③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°．
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝30°，
∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，
∴∠AEP＝60°，BE＝EC．
又AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠EAP＝60°，
则∠AEP＝∠EAP＝60°，
∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，
在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，
∴BE＝EC＝4，
∴AC＝CE+AE＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB＝60°是解题的关键．
10．（3分）定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．或10C．10D．或
【分析】分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．
【解答】解：若5＞x，即x＜5时，
原方程可整理得：
＝2，
方程两边同时乘以（5﹣x）得：
5＝2（5﹣x），
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
且＜5，
即x＝符合题意，
若5＜x，即x＞5时，
原方程可整理得：
＝2，
方程两边同时乘以（x﹣5）得：
x＝2（x﹣5），
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
且10＞5，
即x＝10符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，有理数的混合运算，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）
11．（2分）分解因式：2ax2﹣8a＝ 2a（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（2分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝ 12 ．
【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）
＝2mx﹣3mx2+16﹣24x
＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，
∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，
∴2m﹣24＝0，
解得：m＝12，
故答案为：12．
【点评】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．
13．（2分）当x＝ ﹣2 时，分式的值为0．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵＝0，
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．
14．（2分）课本上有这样一道例题：
作法：（1）作线段AB＝a
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC＝h．
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是 线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义 ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的定义，由CD垂直平分AB可得到△ABC就是等腰三角形．
【解答】解：若CD垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC就是等腰三角形．
故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
15．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为 13 ．
【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE＝BE，进而得到AE+CE＝BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
【解答】解：如图，连接BE，
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，
∴l是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AE+CE＝BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，
∴△AEC的周长最小值等于AC+BC＝5+8＝13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（ 不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 108°，36° ；
（2）若∠A≠36°，当∠A＝ 90°或108° 时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（ 不包括△ABC）．（写出两个答案即可）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）当∠A＝90°或108°时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，
则∠EBC＝36°，
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；
故答案为：108°，36°；
（2）当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形，
故答案为：90°或108°．
【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．
三、解答题（本题共12小题，共56分）
17．（4分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣4
＝0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9
＝﹣4x+13．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．（3分）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．
【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2＝2x2+2xy＝2x（x+y）；
方法二：（y2+2xy）+x2＝（x+y）2；
方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；
方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x）．
【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．
20．（4分）解分式方程：+1＝．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：方程两边同乘以2（x+3），得
4x+2（x+3）＝7，
解得x＝，
检验：当x＝时，2（x+3）≠0，
∴x＝是分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验方程的根．
21．（4分）先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】先去括号，然后化除法为乘法进行化简计算，最后代入求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当a＝0时，＝．
【点评】考查了分式的化简求值，注意：如a取﹣2，2，3时，分式无意义．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，﹣1），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．
23．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
24．（5分）列方程解应用题：
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．
【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．根据“行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列出方程并解答．
【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．
依题意，得．
解方程，得x＝100．
经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．（5分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．
【分析】结论：AE与AF的位置关系是垂直．想办法证明∠CAF+∠CAE＝90°即可．
【解答】解：结论：AE与AF的位置关系是垂直．
证明：∵AE是△ACD的角平分线，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
又∵F为BC中点，
∴，
∵∠CAB+∠CAD＝180°，
∴∠CAF+∠CAE＝90°，
∴AE⊥AF．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（4分）阅读下列材料，然后回答问题：
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
＝＝＝﹣1．
＝＝＝﹣．
（一）还可以用以下方法化简：．
（二）
（1）请用不同的方法化简．
参照（一）式得＝ ﹣ ；
参照（二）式得＝ ﹣ ；
（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：
1．求的值；
2．化简：+++…+．
【分析】（一）（1）方法一：利用分母有理化化简；方法二：利用平方差公式把2写成两个数的平方差的形式，然后利用约分化简；
（二）1．先把前面括号内的各二次根式分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；
2．利用分母有理化得到原式＝（﹣1+﹣+…+﹣），然后合并即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
＝＝﹣；
故答案为﹣；﹣；
（2）1.＝（﹣1+++﹣+…+﹣）（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝2019﹣1
＝2018；
2.+++…+＝（﹣1+﹣+…+﹣）＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
27．（6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．
小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．
请根据小明同学的思路直接写出DE的长．
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．
2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为 ② （①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的长；
（2）过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的长；
（3）过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的长．
【解答】解：（1）如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，
∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
又∵PE⊥AC
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），
∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；
（2）1、补全的图形如下，
过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，
∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
又∵PE⊥AC
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），
∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；
2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．
∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
又∵PE⊥AC
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），
∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；
答案为②．
【点评】本题为三角形综合题，关键是通过作辅助线构建新的等边三角形，再通过证明三角形全等，确定边之间的关系，本题难度不大．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．
（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；
（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）
（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）
【分析】（1）点A关于y轴的对称点为D，求出∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，即可求解；
（2）∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，求出∠BOD即可求解；
（3）证明△AOP≌△ABQ（AAS），而EP为△DAQ的中位线，即可求解．
【解答】解：（1）∵点A关于y轴的对称点为D，
∴∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠BOD＝120°，
∴∠BDO＝＝30°；
（2）如下图：
∵∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，
∴∠BOD＝360°﹣2α﹣60°＝300°﹣2α，
∵BO＝BD，∴∠OBD＝∠ODB．
∴
（3）如上图，连接AP，过点A作AQ∥y轴，交DB的延长线于点Q，
∠OBD＝∠BDO＝α﹣60°，∠ABQ＝180°﹣∠ABO﹣∠BDO＝180°﹣α，
而∠AOP＝180°﹣∠AOE＝180°﹣α，
∴∠ABQ＝∠AOP，
∵AQ∥y轴，
∴∠Q＝∠DPE＝∠APE，
又AB＝AO，
∴△AOP≌△ABQ（AAS），
∴AP＝AQ，BQ＝PO，∠BAQ＝∠OAP，
∴∠PAQ＝∠QAB+∠BAP＝∠BAP+∠PAO＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴AQ＝PQ＝PB+BQ＝PB+PO，
∵AQ∥y轴，E为AD的中点，
∴EP为△DAQ的中位线，
∴AQ＝2EP，
∴2PE＝BP+PO．
【点评】本题是几何变换的综合题，涉及到三角形全等、中位线、等边三角形等知识，关键是通过正确画图，找出全等的三角形，确定线段间的关系．
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日期：2019/10/24 15:27:49；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.cm；学号：335385