2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题含解析

2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.

【详解】由题意知：图中阴影部分表示，而 ，

故，

故选：D．

2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．

故选B．

【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.

3．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ）

A．8 B．10

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据等比中项的性质得到答案.

【详解】与的等比中项满足：，故.

故选：C

4．设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】解：对于A：若，，则或与相交，故A错误；

对于B：若，，由面面垂直的判断定理可得，故B正确；

对于C：若，，则或，故C错误；

对于D：若，，则或或与相交，故D错误．

故选：B．

5．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解

【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；

若幂函数在上是减函数，

则，解得或

故必要性不成立

因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件

故选：A

6．图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用定积分可计算得出阴影部分区域的面积.

【详解】由图可知，阴影部分区域的面积为.

故选：C.

7．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】，其中

当时，，故在上单调递减，

此时在内无最值.

当时，若，则，若，则，

故在上为增函数，在上为减函数，

故在处取最大值，

故选：A.

8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用可得结果.

【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA⊥平面ABC ，

所以

故选：B.

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AD是∠A的平分线，，，则的最小值是（    ）

A．6 B． C． D．10

【答案】C

【分析】首先根据等面积法建立的等量关系，再利用不等式“乘1法”求最小值即可.

【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则.

则，，

而,代入化简得，，即.则，

当且仅当，即时，等号成立.故最小值为.

故选：C

10．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段 上，即可求出的取值范围，即可得解．

【详解】解：如图，为圆心，连接，

则，

因为点在线段上且，则圆心到直线CD的距离，

所以，

所以，则，

即的取值范围是,．

故选：D．

11．已知，，，，则（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.

【详解】，，，故，故；

，，，，

故，；

，，故.

故选：C

12．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用作差法可得，令可得，进而可推出，从而得解

【详解】因为，

又，所以，

所以，所以；

令，则恒成立，

所以在递增，所以，

所以

又，

所以，所以，

又，

所以，即；

所以，

故选：B

二、填空题

13．函数在处的切线与直线平行，则实数________．

【答案】1

【分析】求导得到导函数，根据平行得到，解得答案.

【详解】，，，.

故答案为：1

14．已知向量,满足，且，则向量,的夹角为______.

【答案】

【分析】由得，再根据平面向量的夹角公式可得结果.

【详解】由，得，

所以，即，

所以，

又因为，所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.

15．已知函数，将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.已知在上恰有5个零点，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.

【详解】，令，

由题意在上恰有5个零点，

即在上恰有5个不相等的实根，

由的性质可得，解得．

故答案为：．

16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________．

【答案】

【分析】计算，的外接圆半径为，确定底面积最大时体积最大，，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】，故.

设的外接圆半径为，则，解得，

三棱锥的高是，故底面积最大时体积最大，

对，，当离最远时，面积最大，此时在的垂直平分线上，，

如图所示：为中点，连接，，设，

则，

设，，

当时，即时，，函数单调递减；

当时，即时，，函数单调递增.

当，即时，面积最大为，此时.

故答案为：

三、解答题

17．己知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）确定数列是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三种情况得到答案.

（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.

【详解】（1），所以，即，

所以数列是首项为，公差为1的等差数列．

若选①：由，得，即，

所以，解得．所以，

即数列的通项公式为．

若选②：由，，成等比数列，得，

则，所以，所以．

若选③：因为，所以，所以，

所以．

（2），则，

则，，

两式相减得：，

故．

18．如图1是半圆（以为直径）与组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与所在平面垂直，点是的中点．

(1)求证：；

(2)若，求二面角的平面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）证明平面得到答案.

（2）过点做的垂线交于点，连接，确定为二面角的平面角，计算得到答案.

【详解】（1）是半圆的直径，故，，即，

平面平面，且平面平面，平面，

故平面，又平面，故，

，平面，平面，平面，

平面，故；

（2）为直径且点是的中点，为等腰直角三角形，

点为的中点，，

平面与平面且平面平面，故平面，

平面，故，

则过点做的垂线交于点，连接，

，故平面，平面，故，

故为二面角的平面角，

因在中，，.

即二面角的平面角的正切值为2．

19．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．

(1)将十字形的面积表示为的函数；

(2)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

【答案】(1).

(2)

【分析】（1）首先利用表示出面积表达式，再利用三角函数替换，结合的范围即可.

（2）对面积表达式利用二倍角公式以及降次公式化简，再结合辅助角公式即可化简，最后结合角的范围求出最值.

【详解】（1）设为十字形的面积，则，又圆的直径为，则，因为，所以，所以.从而

.故.

（2）

.

其中.

所以当，即时,最大,且最大值为.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.

(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；

(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知，连接AC交BQ于N﹐连接MN，由可知，所以，又因为，所以，然后利用线面平行的判定定理即可完成证明；

（2）由已知，可通过计算得到并利用线面垂直的判定定理得到平面PQB，平面ABCD，然后点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，先求解出平面MOB的一条法向量，然后设直线PD和平面MQB所成角为，借助可直接进行求解.

【详解】（1）证明：连接AC交BQ于N﹐连接MN，因为，所以，

所以，所以，又，

所以，因为平面MQB，平面MQB，

所以平面MQB；

（2）

连接BD，由题意都是等边三角形，

因为Q是AD中点，所以，又，

平面PQB，所以平面PQB，

，

在中，，所以，所以平面ABCD，

以点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

由，可得，

所以.

设平面MOB的法向量，.

可取，则，

直线PD的方向向量，

设直线PD和平面MQB所成角为，则

即直线PD和平面MQB所成角的大小为.

21．已知函数（）

(1)当时，有两个实根，求取值范围；

(2)若方程有两个实根，且，证明：

【答案】(1)取值范围是

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求得的单调区间，由此求得的取值范围.

（2）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，解得或导数证得不等式成立.

【详解】（1）的定义域为，

，

在上单调递增，所以的取值范围是.

（2）的定义域为，

有两个不相等的实数根，

令，由（1）知在上递增，则，

则有两个不相等的零点，，

，.

要证，只需证，即证，

即证，

，

故只需证，

不妨设，令，

则只需证，

只需证，

令，

，

所以，

即当时，成立.

所以，即，所以.

【点睛】利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立.

22．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；

（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.

【详解】（1）由（t为参数），

可得l的普通方程为；

由曲线C的极坐标方程及

可得，

整理得，

所以曲线C的直角坐标方程为．

（2）易知点M在直线 l 上，

将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，

即，

设P，Q对应的参数分别为，则，

因为，

所以．

23．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)若，则；

(2)．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换证明不等式，注意等号成立条件；

（2）应用三元柯西不等式证明不等式即可.

【详解】（1）由知：，

则，

当且仅当时等号成立.

所以得证.

（2）由，当且仅当，即时等号成立，

所以得证.