高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试同步训练题

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学法指导与考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
知识点5 基本不等式
1、基本不等式(或)均值不等式
2、基本不等式的变形与拓展
(1)若,则；
(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
(3)若,则；
(4)若,则（当且仅当时取“=”）；
(5)若,则（当且仅当时取“=”）．
(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(8)一个重要的不等式链：．
重难点题型突破
重难点1 等式与不等式的性质
不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练2】．（2020·安徽省舒城中学高二月考（理））设，，则的大小关系为__________．
【变式训练3】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
重难点2 分式不等式与绝对值不等式
例2．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】．（2018·全国高一专题练习（理））已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝( )
A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}
【变式训练2】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
例3．（2020·贵州省高二学业考试）不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【变式训练1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
【变式训练3】．（2020·河南省高三其他（理））关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点4 基本不等式
例4.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．1
（2）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式训练1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．6
（2）设若的最小值为（ ）
A 8 B 4 C 1 D
（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式训练2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.
（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数，满足，则的( )
A．最小值为B．最大值为
C．最小值为3D．最大值为3
（3）．（2019·全国高一课时练习）函数的最小值为 （ ）
A.3B.2C.D.
课堂定时训练（45分钟）
1．若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
2．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（ ）
A． B．= C．<< D．=
3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高一）已知，那么a，b，，的大小关系是______．（用“”号连接）
5．（2020·河北省博野中学高一开学考试）不等式的解集为____________．
6．（2020·上海高一课时练习）关于x的不等式的解集为则________，________．
7．（2020·四川省高一月考（理））解下列两个关于x的不等式：
（1）；
（2）
8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用
为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是 ．
9．已知函数在时取得最小值，则_ _．
10．（2020·浙江省高二期中）若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．
一般式
二次函数
一元二次方程[
一元二次不等式
图像与解
x
y
O
x1
x2
或
x
y
O
x0
无解
x
y
O
无解
R
无解