广东省深圳市坪山区第二外国语学校2020-2021学年八年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】

这是一份广东省深圳市坪山区第二外国语学校2020-2021学年八年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】，共17页。试卷主要包含了在实数，点P，下列计算中，正确的是，y＝，方程组的解是，一次函数y＝﹣2x+3上有两点等内容，欢迎下载使用。

坪山二外2020—2021学年第一学期期中考试卷
八年级数学
一．选择题（共12小题）
1．在实数：﹣，3.1415926，π，，3.15，，中，无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
3．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．1，，2 D．，，5
4．点P（2，﹣4）到y轴的距离是（　　）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4
5．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．y＝（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1
7．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD（D为底边BC的中点）的长是（　　）

A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
9．如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（　　）

A．+1 B． C．﹣1 D．1﹣
10．一次函数y＝﹣2x+3上有两点（1，y1）和（﹣2019，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
11．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　）

A．cm B．cm C．cm D．8cm
12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
13．比较大小：　 　（用“＞或＝或＜”填空）．
14．一条直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点P（2，4），则该直线的表达式是　 　．
15.4的平方根是
16．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　 　cm．（结果保留π）

三．解答题（共6小题）
17．计算下列各式
①
②
③
④（）（）
18．已知：△ABC与△A'B'C在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出B、B'的坐标：B　 　；B′　 　；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为　 　；
（3）求△ABC的面积．

19．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝4，CD＝6，DA＝2，且∠B＝90°，求：（1）AC的长；（2）∠DAB的度数．

20．如图，一次函数y＝﹣x+m的图象与y轴交于点B，与正比例函数图象交于点P（2，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求△POB的面积．

21．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为50kg时需付行李费8元．
（1）当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式；
（2）求旅客最多可免费携带行李的质量．
22．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


坪山二外2020—2021学年第一学期期中考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在实数：﹣，3.1415926，π，，3.15，，中，无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，是无理数，
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据点在第二象限的符号特点：横坐标为负，纵坐标为正，纵坐标是正数作答．
【解答】解：∵点在第二象限的符号特点：横坐标为负，纵坐标为正，
∴符合题意的只有选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．1，，2 D．，，5
【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵52+122≠152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵12+（）2＝22，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵（）2+（）2≠52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
4．点P（2，﹣4）到y轴的距离是（　　）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（2，﹣4）到y轴的距离为2．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
5．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及结合二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝2，故此选项正确；
B、＝＝，故此选项错误；
C、5﹣＝4，故此选项错误；
D、2+，无法计算，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质，正确掌握运算法则是解题关键．
6．y＝（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1
【分析】根据一次函数的定义，自变量x的次数为1，一次项系数不等于0列式解答即可．
【解答】解：由题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
7．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】可用两种方式解决本题：①将选项中的x与y的值分别代入题干中两个方程验证；②直接解方程组选出答案．此处选用第二种方法．
【解答】解：
①﹣②得：4y＝8
解得y＝2
将y＝2代入①可解得：x＝4
∴原方程组的解为：
故选：B．
【点评】本题考察二元一次方程组的解法，因此要对二元一次方程组的解法非常熟悉．
8．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD（D为底边BC的中点）的长是（　　）

A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
【分析】首先证明AD⊥BC，再利用勾股定理计算即可；
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝2.5，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（　　）

A．+1 B． C．﹣1 D．1﹣
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示﹣1，可得E点表示的数．
【解答】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC＝＝，
∵A点表示﹣1，
∴E点表示的数为：﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10．一次函数y＝﹣2x+3上有两点（1，y1）和（﹣2019，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质，解决该题亦可）．
【解答】解：∵点（1，y1）和（﹣2019，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，
∴y1＝1，y2＝4041．
∵1＜4041，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y1，y2的值是解题的关键．
11．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　）

A．cm B．cm C．cm D．8cm
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝62+（8﹣x） 2，
解得：x＝（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．
12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　）

A． B． C． D．
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．
【解答】解：作BD⊥AC于D，如图所示：
∵小正方形的边长为1，
∴AC＝＝，
∵S△ABC＝2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1＝1.5，
∴S△ABC＝×AC×BD＝××BD＝1.5，
解得：BD＝．
故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．
二．填空题（共3小题）
13．比较大小：　＞　（用“＞或＝或＜”填空）．
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵||＝，|﹣|＝，
而，
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
14．一条直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点P（2，4），则该直线的表达式是　y＝﹣2x+8　．
【分析】本题需先根据直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，得出k的值，再根据过点P（2，4）得出b的值，最后即可求出答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，
∴k＝﹣2，
又∵过点P（2，4），
∴4＝﹣2×2+b，
∴b＝8，
∴直线的表达式是y＝﹣2x+8．
故答案为：y＝﹣2x+8．
【点评】本题主要考查了两条直线平行问题，在解题时要找出本题的关键点两直线平行，这是解题的关键．
15．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　3　cm．（结果保留π）

【分析】根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长的1.5倍，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，
∴展开后AB＝1.5×2π＝3πcm，BC＝3cm，
由勾股定理得：AC＝＝＝3cm．
故答案为：3．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．
三．解答题（共6小题）
16．计算下列各式
①
②
③
④（）（）
【分析】①根据二次根式的乘法法则运算；
②根据二次根式的除法法则运算；
③先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
④利用平方差公式计算．
【解答】解：①原式＝
＝2；
②原式＝+
＝2+3
＝5；
③原式＝2﹣
＝2﹣1；
④原式＝13﹣9
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．已知：△ABC与△A'B'C在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出B、B'的坐标：B　（2，0）　；B′　（﹣2，﹣2）　；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为　（a﹣4，b﹣2）　；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据点B、B′在平面直角坐标系中的位置可得答案；
（2）先根据平面直角坐标系得出三角形的平移方向和距离，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）由图知点B′的坐标为（2，0）、点B坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（2，0）、（﹣2，﹣2）；

（2）由图知△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位可得到△A'B'C′，
则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2），
故答案为：（a﹣4，b﹣2）；

（3）△ABC的面积为2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝4，CD＝6，DA＝2，且∠B＝90°，求：（1）AC的长；（2）∠DAB的度数．

【分析】（1）根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以求得∠CAD＝90°，根据等腰三角形的性质可以求得∠BAC＝45°，从而求解．
【解答】解：（1）∵AB＝BC＝4，且∠B＝90°，
∴AC＝＝4；

（2）∵CD＝6，DA＝2，AC＝4，
∴CD2＝DA2+AC2，
∴∠CAD＝90°．
∵AB＝BC，且∠B＝90°，
∴∠BAC＝45°．
∴∠DAB＝90°+45°＝135°．
【点评】此题综合考查了勾股定理及其逆定理．能够根据勾股定理由直角三角形的已知两边求得第三边；能够根据三角形的三边判断三角形是否是直角三角形．
19．如图，一次函数y＝﹣x+m的图象与y轴交于点B，与正比例函数图象交于点P（2，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求△POB的面积．

【分析】（1）先把P（2，n）代入y＝x即可得到n的值，从而得到P点坐标为（2，3），然后把P点坐标代入y＝﹣x+m可计算出m的值；
（2）先利用一次函数解析式确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把P（2，n）代入y＝x，得n＝3，
所以P点坐标为（2，3），
把P（2，3）代入y＝﹣x+m，得﹣2+m＝3，
解得m＝5，
即m和n的值分别为5，3；
（2）把x＝0代入y＝﹣x+5，得y＝5，
所以B点坐标为（0，5），
所以△POB的面积＝×5×2＝5．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
20．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为50kg时需付行李费8元．
（1）当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式；
（2）求旅客最多可免费携带行李的质量．
【分析】（1）根据（20，2）、（50，8）利用待定系数法，即可求出当行李的质量x超过规定时，y与x之间的函数表达式；
（2）令y＝0，求出x值，此题得解．
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b．
将（20，2）、（50，8）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴当行李的质量x超过规定时，y与x之间的函数表达式为y＝x﹣2．
（2）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得：x＝10．
答：旅客最多可免费携带行李10kg．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式；（2）令y＝0，求出x值．
21．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设直线DP解析式为y＝kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝10，四边形OACB为长方形，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把（0，2），C（6，10）分别代入，得
，
解得
则此时直线DP解析式为y＝x+2；

（2）①当点P在线段AC上时，OD＝2，高为6，S＝6；
当点P在线段BC上时，OD＝2，高为6+10﹣2t＝16﹣2t，S＝×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16；
②设P（m，10），则PB＝PB′＝m，如图2，
∵OB′＝OB＝10，OA＝6，
∴AB′＝＝8，
∴B′C＝10﹣8＝2，
∵PC＝6﹣m，
∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝
则此时点P的坐标是（，10）；

（3）存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点ZAC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，
在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，
根据勾股定理得：CP1＝＝2，
∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；
②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB＝DP3＝8时，
在Rt△DEP3中，DE＝6，
根据勾股定理得：P3E＝＝2，
∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．