广东省广州市天河外国语学校2020-2021学年上学期八年级期中数学【试卷+答案】

2020-2021学年广东省广州市天河外国语学校八年级（上）期中数学试卷

1. 下列运算正确的是

A.  B.
C.   D.

2. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和对于下列四个结论：
   ①；②；③；④其中正确的是
    

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④

4. 如图，在等腰三角形ABC中，，，D为AC边的中点．若，则BD的长为
    

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

5. 若一元二次方程的两根为，，则的值是

A. 4 B. 2 C. 1 D.

6. 如图，点O是的重心，连接AO并延长交BC于点连接BO并延长交AC于点E，则下列说法一定正确的是
    

A. AD是的高 B. BO是的中线
C. AO是的角平分线 D. 与的面积相等

7. 已知

A.  B.  C.  D.

8. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE与AD相交于点F，则下列结论不一定成立的是
    

A. 是等腰三角形 B. ≌
C. BE平分 D. 折叠后的图形是轴对称图形

9. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为根据题意列方程，则下列方程正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

11. 方程的解为______.
12. 如图，______.
    
    
    
     

13. 分解因式：______.
14. 如图，在中，DE是AC的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______.

15. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围______.
16. 如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，恰好使得，则的大小为______.
    
     

17. 关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为______.
18. 化简：
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，AD是BC边上的高，AE是的角平分线，且，，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，，
    作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹；
    连接CE，求的度数．

21. 某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需万元．
    该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
    若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？
    对中的几种建造方案中，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在和中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：
    ；；；
    请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出证明过程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知关于x的方程
    若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根．
    若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
    证明：；
    如图2，作的平分线交CD于G点，连接证明：；
    如图3，将图1中的“直角”改为“”，当的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．
     

25. 已知中，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点
    如图①，过点P作交BC于点F，求证：≌；
    如图②，当点P为AB的中点时，求CD的长；
    如图③，过点P作于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
根据合并同类项法则，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法法则解答．
考查了平方差公式，合并同类项，同底数幂的除法等，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】
解：A、原式，故本选项错误．
B、原式，故本选项错误．
C、原式，故本选项错误．
D、原式解答正确，故本选项正确．
故选：  

2.【答案】D
 

【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
【解答】
解：根据图示，可得，，
①，故正确；
②，故正确；
③，故正确；
④，故错误．
正确的是①②③．
故选：  

4.【答案】A
 

【解析】解：，，
，
为AC边的中点，
，
，
，
故选：
根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：根据题意得，，
所以
故选：
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

6.【答案】D
 

【解析】解：因为三角形的重心是三角形三边中线的交点，
所以A、B、C选项都不正确，
只有D正确．
理由如下：
因为三角形的重心是三角形三边中线的交点，
所以与的面积相等．
故选：
根据三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断．
本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握三角形的重心定义，三角形的重心是三角形三边中线的交点．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：
直接利用完全平方公式将原式变形进而得出，即可求出答案．
此题主要考查了完全平方公式，正确得出是解题关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
由折叠的性质得：，，，，
，，
，是等腰三角形，选项A成立；
在和中，，
，选项B成立；
若BE平分，则，因此选项C不一定成立；
，
，
则折叠后的图形是轴对称图形，BD的垂直平分线是对称轴，选项D成立；
故选：
由矩形的性质和折叠的性质得出，得出，是等腰三角形，选项A成立；证明，选项B成立；若BE平分，则，选项C不一定成立；由，得出，则折叠后的图形是轴对称图形，BD的垂直平分线是对称轴，选项D成立．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、轴对称图形等知识；熟练掌握翻折变换和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程应用中的增长率问题，从实际问题抽象出一元二次方程，准确掌握季度总营业额是解题的关键.根据题意分别表示出5月，6月的营业额进而得出方程即可．
【解答】
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为
根据题意列方程得：
故选  

10.【答案】A
 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
是的角平分线，
，，故②③正确，
在与中，
，
≌，
，，故①正确；
，
，故④正确．
故选：
根据等腰三角形的性质三线合一得到，，故②③正确；通过≌，得到，，故①④正确．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：
移想，合并同类项，系数化1，求出x的值．
本题考查一元一次方程的解法，移项，合并同类项，系数化1，求出x的值．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，

根据三角形外角的性质可知，，
，
，
故答案为：
根据三角形外角的性质可知，，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：
用提公因式法进行因式分解即可．
本题考查提公因式法因式分解，找出公因式是正确分解的前提．
 

14.【答案】19
 

【解析】

【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由线段的垂直平分线的性质可得，，从而可得答案．
【解答】
解：是AC的垂直平分线，，
，，
，
的周长
故答案为：  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
方程有两个不相等的实数根，则，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】
解：方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
故答案为：  

16.【答案】
 

【解析】解：绕点A逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
；
故答案为：
根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质求出，即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

17.【答案】且
 

【解析】解：，
方程两边同乘以，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
关于x的分式方程的解为非负数，，
，
解得，且，
故答案为：且
根据解分式方程的方法和方程的解为非负数，可以求得a的取值范围．
本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
 

18.【答案】解：原式
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，，
又AE是的角平分线，
，
，
又AD是BC边上的高，，
 

【解析】首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
此类题要首先明确思路，运用三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义即可求解．
 

20.【答案】解：如图，DE为所求；

垂直平分AC，
，
，
 

【解析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线，也考查线段垂直平分线的性质.
利用基本作图，作DE垂直平分AC；
根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后利用互余计算的度数．
 

21.【答案】解：设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，
由题意得：，
解得
故新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元；

设新建m个地上停车位，
由题意得：，
解得，
因为m为整数，所以或39，
对应的或21，
故一共2种建造方案；

当时，投资万元，
当时，投资万元，
故当地上建39个车位地下建21个车位投资最少，金额为万元．
 

【解析】设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案．
设新建地上停车位m个，则地下停车位个，根据投资金额超过14万元而不超过15万元，可得出不等式组，解出即可得出答案．
将和分别求得投资金额，然后比较大小即可得到答案．
本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解，有一定难度．
 

22.【答案】解：以、、为条件，为结论．
证明：，
，
，
，
又，
≌，
 

【解析】只要以其中三个作为条件，能够得出另一个结论正确即可，下边以、、为条件，为结论为例．
本题与命题联系在一起，归根到底主要还是考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
 

23.【答案】解：是关于x的一元二次方程，
，
解得，
关于x的方程，
解方程得，，
方程的另一根是2；
当为底边，则b，c为腰长，则，则
，解得：
此时原方程化为
，即
此时三边为4，2，2，构不成三角形，
当为腰，则为腰长，c为底，则，
求得，
关于x的方程为
解得或4，
，
周长为
故这个等腰三角形的周长是
 

【解析】利用一元二次方程的根的意义即可求出k的值，进而得出一元二次方程，解方程即可得出结论；
分两种情况，求得b，c的值后，再求出的周长．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解．
 

24.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，
，，
，即，
而，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：≌，
，
的平分线交CD于G点，
，
在和中
，
≌，
，
，
而，
；
解：理由如下：
作交BC于G点，如图3，
与一样可证明≌，
，，
，
，
与一样可证明≌，
，
，
 

【解析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“ASA”证明≌，然后根据全等的性质即可得到；
由≌得，再根据角平分线的定义得，然后根据“SAS”可判断≌，得到，由于，所以；
作交BC于G点，如图3，与一样可证明≌，得到，；再与一样可证明≌得到，利用，
即可得到
本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．
 

25.【答案】解：，
，
，
，
，    
由题意，，
，
，
又，
≌；
如图，过P点作交BC于F，
点P为AB的中点，
为BC的中点，
，
由知≌，，
；
线段DE的长度保持不变．
如图，过点P作交BC于F，由知，
，
，
由知≌，，
 

【解析】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
根据全等三角形的判定定理ASA进行证明；
过点P作PF平行与AQ，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，证出，得出，由ASA证明≌，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
过点P作交BC于F，首先证明，根据，即可解决问题．