2020-2021学年广东省深圳市龙岗区深圳市百合外国语学校八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市龙岗区深圳市百合外国语学校八上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在实数 3，227，π，0.2，01001000100001⋯，9 中，无理数的个数有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

2. 下列各组数中，是勾股数的是
A. 0.3，0.4，0.5B. 6，8，10C. 13，14，15D. 10，15，18

3. 已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 2，到 y 轴距离是 4，则 P 的坐标为
A. 4,−2B. −4,2C. −2,4D. 2,−4

4. 函数 y=x−2+1x+1 中自变量 x 的取值范围是
A. x≥2B. x≥2 且 x≠−1
C. x>2 且 x≠−1D. x≠−1

5. 某青年球队 10 名队员年龄情况如下：18，19，18，19，21，19，20，19，22，20．则这 10 名队员年龄的众数、中位数分别是
A. 18，19B. 19，19C. 19，19.5D. 18，19.5

6. 下列运算正确的是
A. 2⋅3=6B. 2+3=5C. 8−6=2D. 4÷2=2

7. 如图，已知 △ABC 中 AC=24，AB=25，BC=7，AB 上取一点 E，AC 上取一点 F 使得 ∠EFC=136∘，过点 B 作 BD∥EF，则 ∠CBD 等于
A. 44∘B. 56∘C. 46∘D. 68∘

8. 实数 a，b 在数轴上的位置如图，下列结论错误的是
A. a+b>0B. ab<0C. b>−aD. a+3>b

9. 受新型肺炎疫情影响，各类消毒液需求量大增，卫健委积极推动部分消毒液紧急上市，有效缓解消毒液供需矛盾．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（5 kg）和小瓶装（2.5 kg）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为 3:4．某厂每天生产这种消毒液 25 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分装 x 大瓶、 y 小瓶．根据题意可列方程组
A. 3x=4y,5x+2.5y=25B. 3x=4y,5x+2.5y=25000
C. 4x=3y,5x+2.5y=25D. 4x=3y,5x+2.5y=25000

10. 已知直线 l1:y=kx+b 与直线 l2:y=−12x+m 都经过 C−65,85，直线 l1 交 y 轴于点 B0,4，交 x 轴于点 A，直线 l2 交 y 轴于点 D，P 为 y 轴上任意一点，连接 PA，PC，有以下说法：
①方程组 y=kx+b,y=−12x+m 的解为 x=−65,y=85;
② △BCD 为直角三角形；
③ S△ABD=6；
④当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为 0,1．
其中正确的说法个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 命题“−a 一定表示一个负数”是 命题．（填“真”或“假”）

12. 点 P4,b 关于 y 轴的对称点为 Qa,3，则 a+b 的值为 ．

13. 数学期末总评成绩是将平时、期中和期末的成绩按 3:3:4 计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是 90 分、 80 分、 100 分，则小红一学期的数学期末总评成绩是 分．

14. 如图所示的网格是正方形网格，则 ∠ACB−∠DCE= ∘（点 A，B，C，D，E 是网格线交点）．

15. 如图，直线 y=3x+23 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，点 C 和点 B 关于 y 轴对称，连接 AC，点 D 是 △ABC 外一点，∠BDC=60∘，点 E 是 BD 上一点，点 F 是 CD 上一点，且 CF=BE，连接 FE，FB，若 ∠BFE=30∘，则 BF2+EF2 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算：2021−10−3−2+15−1+3−8．

17. 解方程组．
（1）2x−y=3,−4x+y=−1.
（2）4x−1−31+y=1,x2+y3=1.

18. 近年，《中国诗词大会》、《朗读者》、《经典咏流传》、《国家宝藏》等文化类节目相继走红，被人们成为“清流综艺”，某中学兴趣小组想了解全校学生对这四个节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，要求每名学生选出一个自己最喜爱的节目，并将调查结果绘制成如下统计图（其中《中国诗词大会》、《朗读者》、《经典咏流传》、《国家宝藏》分别用 A，B，C，D 表示），请你结合图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人．
（2）请把条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，B 对应的圆心角的度数是 ．
（4）已知该中学共有 3200 名学生，请根据样本估计全校最喜爱《朗读者》的人数是多少?

19. 已知三角形 ABC 与三角形 AʹBʹCʹ 在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出点 A，Aʹ 的坐标：A ，Aʹ ．
（2）若点 Pm,n 是三角形 ABC 内部一点，则平移后三角形 AʹBʹCʹ 内的对应点 Pʹ 的坐标为 ；线段 PPʹ 的长度为 ．
（3）求三角形 ABC 的面积．

20. 如图，小区有一块四边形空地 ABCD，其中 AB⊥AC，为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点 A 作了垂直于 BC 的小路 AE．经测量，AB=CD=4m，BC=9m，AD=7m．
（1）求这块空地 ABCD 的面积．
（2）求小路 AE 的长．（答案可含根号）

21. 水果市场将 120 吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型甲乙丙汽车运载量吨/辆5810汽车运费元/辆400500600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200 元，问分别需甲、乙两种车型各几辆?
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少 1 辆），已知它们的总辆数为 16 辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=k1x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，且 OB=3OA，直线 l2:y=k2x+b 经过点 C3,1，与 x 轴、 y 轴、直线 AB 分别交于点 E，F，D 三点．
（1）求直线 l1 的解析式．
（2）如图 1，连接 CB，当 CD⊥AB 时，求点 D 的坐标和 △BCD 的面积．
（3）如图 2，当点 D 在直线 AB 上运动时，在坐标轴上是否存在点 Q，使 △QCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】227 是分数，属于有理数；
9=3，是整数，属于有理数；
0.2 是小数，属于有理数；
无理数有 3，π，01001000100001⋯，共 3 个．
2. B【解析】A选项：0.3，0.4，0.5 不是正整数，不是勾股数，故A选项不合题意．
B选项：62+82=102，都是正整数，是勾股数，故B选项符合题意．
C选项：13，14，15 不是正整数，不是勾股数，故C选项不合题意．
D选项：102+152≠182，不是勾股数，故D选项不合题意．
3. A【解析】由到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 4，
得：x=4，y=2，
由点 P 位于第四象限，得：P 点坐标为 4,−2．
4. A【解析】由题意得：x−2≥0，x+1≠0，解得：x≥2．
5. B
【解析】将青年球队 10 名队员年龄按从小到大排序：
18，18，19，19，19，19，20，20，21，22，
出现最多的为 19，出现了 4 次，故众数为 19，
排列在第五、六位的均为 19，故中位数为 19，
6. A【解析】A选项：原式=2×3=6，故A正确．
B选项：2 与 3 不能合并，故B错误．
C选项：原式=22−6，故C错误．
D选项：原式=4÷2=2，故D错误．
7. C【解析】延长 AC 交 DB 于 D，
∵AC=24，AB=25，BC=7，
AC2+BC2=625=AB2，
∴∠ACB=90∘=∠BCD，
∵EF∥BD，
∴∠EFD+∠BDC=180∘，
∵∠EFD=136∘，
∴∠BDC=44∘，
∵∠ACB=∠CBD+∠BDC，
∴∠CBD=46∘，
∴ 选择C．
8. D【解析】A选项：
∵−22，
∴a ∴a+b>0，
∴ A选项正确，不符合题意；
B选项：
∵a 为负数，b 为正数，
∴ab<0，
∴ B选项正确，不符合题意；
C选项：
∵a0，
∴b>−a，
∴ C选项正确，不符合题意；
D选项：
∵−2 ∴1又 ∵b>2，
∴b>a+3，
∴ D选项错误，符合题意．
9. D【解析】设这些消毒液应该分装 x 大瓶、 y 小瓶．
由题意得，4x=3y,5x+2.5y=25000.
10. C
【解析】① ∵ 直线 l1:y=kx+b 与直线 l2:y=−12x+m 都经过 C−65,85，
∴ 方程组 y=kx+b,y=−12x+m 的解为 x=−65,y=85，
故①正确，符合题意；
②把 B0,4，C−65,85 代入直线 l1:y=kx+b，
可得 4=b,85=−65k+b，解得 k=2,b=4，
∴ 直线 l1:y=2x+4，
又 ∵ 直线 l2:y=−12x+m，
∴ 直线 l1 与直线 l2 互相垂直，即 ∠BCD=90∘，
∴△BCD 为直角三角形，故②正确，符合题意；
③把 C−65,85 代入 l2:y=−12x+m，可得 m=1，
y=−12x+1 中，令 x=0，则 y=1，
∴D0,1，
∴BD=4−1=3，
在直线 l1:y=2x+4 中，令 y=0，则 x=−2，
∴A−2,0，
∴AO=2，
∴S△ABD=12×3×2=3，故③错误，不符合题意；
④点 A 关于 y 轴对称的点为 Aʹ2,0，
由点 C，Aʹ 的坐标得，
直线 CAʹ 的表达式为：y=−12x+1，
令 x=0，则 y=1，
∴ 当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为 0,1，故④正确，符合题意．
第二部分
11. 假
【解析】−a 不一定表示一个负数，若 a≤0，则 −a≥0，为非负数，
故该命题为假命题．
12. −1
【解析】∵ 点 P4,b 关于 y 轴的对称点 Qa,3，
∴a=−4，b=3，
∴a+b=−4+3=−1．
13. 91
【解析】3+3+4=10，
根据比例为 3:3:4 知：
总评成绩为 90×310+80×310+100×410=91（分）．
14. 45
【解析】如图，连接 CG，AG，
由勾股定理得：AG2=CG2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AG2+CG2=AC2，
∴∠CGA=90∘，
∴△CAG 是等腰直角三角形，
∴∠CAG=45∘，
∵AF∥BC，
∴∠CAF=∠BCA，
在 △AFG 和 △CDE 中，
AF=CD,∠AFG=∠CDE=90∘,EG=DE,
∴△AFG≌△CDESAS，
∴∠FAG=∠DCE，
∴∠ACB−∠DCE=∠CAF−∠FAG=∠CAG=45∘．
15. 16
【解析】连接 FA，EA，
∵y=3x+23 与 y 轴交于 A，与 x 轴交于点 B，
∴A0,23，B−2,0，
∴OB=2，OA=23，
∴AB=OB2+OA2=22+232=4，
∴OB=12AB，
∴∠ABO=60∘，
∵ 点 B 与点 C 关于 y 轴对称，
∴C0,2，∠ACB=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘．
∵∠BDC=60∘，
∴∠DBA=∠ACF，
在 △ABE 和 △ACF 中，
∵AB=AC,∠ABE=∠ACF,BE=CF,
∴△ABE≌△ACFSAS．
∴AE=AF，∠EAB=∠FAC．
∵∠BAC=60∘，即 ∠BAF+∠FAC=60∘，
∴∠BAF+∠EAB=60∘，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠AFE=60∘，EF=AF，
∵∠BFE=30∘，
∴∠AFE+∠BFE=60∘+30∘=90∘，即 ∠AFB=90∘．
在 Rt△ABF 中，BF2+AF2=AB2，
∴BF2+EF2=AB2．
∵AB=4，
∴BF2+EF2=AB2−42=16．
第三部分
16. 2021−10−3−2+15−1+3−8=1−2−3+5−2=3+1−2+5−2=3+2.
17. （1）
2x−y=3, ⋯⋯①−4x+3=−1. ⋯⋯②
① + ②得：
2x−y−4x+y=2−2x=2x=−1.
把 x=−1 代入①得
2×−1−y=3,y=−5.
∴x=−1,y=−5.
（2）
4x−1−31+y=1,x2+y3=1.
4x−3y=8, ⋯⋯①3x+2y=6. ⋯⋯②
① ×2+ ② ×3 得
8x−6y+9x+6y=34x=2.
把 x=2 代入②得：
6+2y=6y=0.
∴x=2,y=0.
18. （1） 100
【解析】本次调查的学生人数为 44÷44%=100（人）．
（2） 最喜爱《朗读者》的学生人数为：100−44−8−28=20（人），
条形统计图补充完整如下：
（3） 72∘
【解析】B 对应的圆心角是：20100×360∘=72∘．
（4） 根据样本估计全校最喜爱《朗读者》的人数是：3200×20100=640（人）．
19. （1） 1,0；−4,4
（2） m−5,n+4；41
【解析】Pʹm−5,n+4，PPʹ=AAʹ42+52=41．
（3） S△ABC=4×4−12×1×4−12×2×4−12×2×3=7．
20. （1） ∵AB=4m，BC=9m，AB⊥AC，
∴AC=BC2−AB2=92−42=65m，
又 ∵AD=7m，CD=4m，且 72+42=652，
∴AD2+CD2=AC2，
∴AD⊥CD，
∴ 这块空地 ABCD 的面积
S△ABC+S△ACD=12⋅AB⋅AC+12⋅AD⋅CD=12×4×65+12×7×4=265+14m2.
（2） ∵AB⋅AC=BC⋅AE，
∴4×65=9×AE，
∴AE=4965m．
21. （1） 设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，得：
5x+8y=120,400x+500y=8200.
解得
x=8,y=10.
答：分别需甲 8 辆、乙 10 辆．
（2） 设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，丙车型 z 辆，得：
x+y+z=16,5x+8y+10z=120,
消去 z 得 5x+2y=40，x=8−25y，
因 x，y 是正整数，且不大于 16，得 y=5,10，
由 z 是正整数，解得 x=6,y=5,z=5, x=4,y=10,z=2,
有二种运送方案：
①甲车型 6 辆，乙车型 5 辆，丙车型 5 辆；
②甲车型 4 辆，乙车型 10 辆，丙车型 2 辆．
22. （1） y=k1x+6，
当 x=0 时，y=6，
∴OB=6，
∴OB=3OA，
∴OA=23，
∴A−23,0，
把 A−23,0 代入：y=k1x+6 中得：−23k1+6=0，k1=3，
∴ 直线 l1 的解析式为：y=3x+6．
（2） 方法一：
∵CD⊥AB，
∴k2=−33，
∴ 直线 l2 解析式 y=−33x+b，
把 C3,1 代入 y=−33x+b 中，
得 −1+b=1，解得 b=2，
∴y=−33x+2，
联立 y=3x+b,y=−33x+2, 解得 x=−3,y=3,
∴D−3,3，
把 x=0 代入 y=−33x+2 中得 y=2，
∴F0,2，
∴BF=4，
∴S△BCD=S△DBF+S△CBF=12BF⋅xD+12BF⋅xC=12⋅BF⋅3+3=12×4×23=43.
【解析】方法二：
如图 1，过 C 作 CH⊥x 轴于 H．
∵C3,1，
∴OH=3，CH=1，
Rt△ABO 中，AB=62+232=43，
∴AB=2OA，
∴∠OBA=30∘，∠OAB=60∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADE=90∘，
∴∠AED=30∘，
∴EH=3，
∴OE=OH+EH=23，
∴E23,0，
把 E23,0 和 C3,1 代入 y=k2x+b 中得：
23k2+b=0,3k2+b=1, 解得：k2=−33,b=2,
∴ 直线 l2:y=−33x+2，
∴F0,2 即 BF=6−2=4，
则 y=−33x+2,y=3x+6, 解得 x=−3,y=3,
∴D−3,3，
∴S△BCD=12BFxC−xD=12×43+3=43．
（3） 存在，Q 坐标 0,±23 或 6−43,0 或 −43−6,0．
【解析】分四种情况：
①当 Q 在 y 轴的正半轴上时，
如图 2，过 D 作 DM⊥y 轴于 M，过 C 作 CN⊥y 轴于 N．
∵△QCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，
∴∠CQD=90∘，CQ=DQ，
∴∠DMQ=∠CNQ=90∘，
∴∠MDQ=∠CQN．
在 △DMQ 和 △QNC 中，
∠MDQ=∠NQC,∠DMQ=∠CNQ,DQ=CQ,
∴△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=3，
设 Dm,3m+6m<0，则 Q0,−m+1，
∴OQ=QN+ON=OM+QM，
即 −m+1=3m+6+3，m=−5−33+1=1−23，
∴Q0,23；
②当 Q 在 x 轴的负半轴上时，
如图 3，过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 C 作 CN⊥x 轴于 N．
同理得：△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=1，
设 Dm,3m+6m<0，则 Qm+1,0，
∴OQ=QN−ON=OM−QM，
即 3m+6−3=−m−1，m=5−43，
∴Q6−43,0；
③当 Q 在 x 轴的负半轴上时，
如图 4，过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 C 作 CN⊥x 轴于 N．
同理得：△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=1，
设 Dm,3m+6m<0，则 Qm−1,0，
∴OQ=QN−ON=OM+QM，
即 −3m−6−3=−m+1，m=−43−5，
∴Q−43−6,0；
④当 Q 在 y 轴的负半轴上时，
如图 5，过 D 作 DM⊥y 轴于 M，过 C 作 CN⊥y 轴于 N．
同理得：△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=3，
设 Dm,3m+6m<0，则 Q0,m+1，
∴OQ=QN−ON=OM+QM，
即 −3m−6+3=−m−1，m=−23−1，
∴Q0,−23．
综上，存在点 Q，使 △QCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，
点 Q 的坐标是 0,±23 或 6−43,0 或 −43−6,0．