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_山东省济宁市曲阜市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)
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这是一份_山东省济宁市曲阜市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市曲阜市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+2＝0 B．x+y＝5 C．x+＝5 D．x2+2x＝3
2．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
4．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
6．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．145° B．130° C．135° D．125°
8．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：每小题3分，共15分
11．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为 ．
12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
14．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
15．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为 ．
三、解答题：（共55分）
16．解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0．
17．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）四边形AC1A1C的面积为 ．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
19．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
20．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点
A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+2＝0 B．x+y＝5 C．x+＝5 D．x2+2x＝3
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．
解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C．是分式方程，故此选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：D．
4．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．
解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
故选：C．
5．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可．
解：∵x2﹣6x+5＝0，
∴x2﹣6x＝﹣5，
则x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，
故选：D．
6．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．145° B．130° C．135° D．125°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据旋转变换的性质求出∠BAC1＝80°，得到∠CAC的度数即可．
解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
由旋转的性质可知，∠B1AC1＝∠BAC＝50°，
∴∠BAC1＝80°，
∴∠CAC1＝130°，
故选：B．
8．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
【分析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共15分
11．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1+k﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故答案是：2．
12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．
解：抛物线解析式为y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
14．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4） ．
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
15．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为 ﹣1或1+ ．
【分析】根据题中的新定义化简方程，求出解即可得到x的值．
解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形为x＝，
去分母得：x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝＝1±，
此时x＝1+，
经检验x＝1+是分式方程的解；
当x＜﹣x，即x＜0，方程变形为﹣x＝，
去分母得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
综上，x的值为﹣1或1+，
故答案为：﹣1或1+
三、解答题：（共55分）
16．解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
解：（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
17．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）四边形AC1A1C的面积为 16 ．
【分析】（1）延长AB到A1使BA1＝AB，延长CB到C1，使BC1＝BC；
（2）利用平行四边形的面积公式．
解：（1）如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为（3，﹣1），（1，3）；
（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，
∴四边形AC1A1C为平行四边形，
∴四边形AC1A1C的面积＝4×4＝16．
故答案为16．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
19．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，根据圆周角定理得到＝，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF＝3，OF＝2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF＝，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5﹣3＝2，
在Rt△OCF中，CF＝＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝．
20．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为y个与销售单价为x元的函数关系式；
（2）根据销售利润W等于单个利润（x﹣40）与销售量y的乘积列出函数关系式，再令W＝2400元，解关于x的一元二次方程，从而可求得售价；
（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣2x+220；
（2）设利润为W，
则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x²+300x﹣8800，
令W＝2400，
则﹣2x2+300x﹣8800＝2400，
解得：x＝70或x＝80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，
答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．
21．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
解：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点
A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，m2﹣2m﹣3），再根据S△ABD＝2S△ABC，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接BC，
由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝1+或1﹣，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（1+，6）或（1﹣，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
∴n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
2021-2022学年山东省济宁市曲阜市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+2＝0 B．x+y＝5 C．x+＝5 D．x2+2x＝3
2．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
4．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
6．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．145° B．130° C．135° D．125°
8．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：每小题3分，共15分
11．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为 ．
12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
14．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
15．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为 ．
三、解答题：（共55分）
16．解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0．
17．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）四边形AC1A1C的面积为 ．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
19．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
20．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点
A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+2＝0 B．x+y＝5 C．x+＝5 D．x2+2x＝3
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．
解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C．是分式方程，故此选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：D．
4．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．
解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
故选：C．
5．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可．
解：∵x2﹣6x+5＝0，
∴x2﹣6x＝﹣5，
则x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，
故选：D．
6．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．145° B．130° C．135° D．125°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据旋转变换的性质求出∠BAC1＝80°，得到∠CAC的度数即可．
解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
由旋转的性质可知，∠B1AC1＝∠BAC＝50°，
∴∠BAC1＝80°，
∴∠CAC1＝130°，
故选：B．
8．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
【分析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共15分
11．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1+k﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故答案是：2．
12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．
解：抛物线解析式为y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
14．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4） ．
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
15．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为 ﹣1或1+ ．
【分析】根据题中的新定义化简方程，求出解即可得到x的值．
解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形为x＝，
去分母得：x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝＝1±，
此时x＝1+，
经检验x＝1+是分式方程的解；
当x＜﹣x，即x＜0，方程变形为﹣x＝，
去分母得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
综上，x的值为﹣1或1+，
故答案为：﹣1或1+
三、解答题：（共55分）
16．解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
解：（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
17．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）四边形AC1A1C的面积为 16 ．
【分析】（1）延长AB到A1使BA1＝AB，延长CB到C1，使BC1＝BC；
（2）利用平行四边形的面积公式．
解：（1）如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为（3，﹣1），（1，3）；
（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，
∴四边形AC1A1C为平行四边形，
∴四边形AC1A1C的面积＝4×4＝16．
故答案为16．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
19．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，根据圆周角定理得到＝，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF＝3，OF＝2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF＝，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5﹣3＝2，
在Rt△OCF中，CF＝＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝．
20．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为y个与销售单价为x元的函数关系式；
（2）根据销售利润W等于单个利润（x﹣40）与销售量y的乘积列出函数关系式，再令W＝2400元，解关于x的一元二次方程，从而可求得售价；
（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣2x+220；
（2）设利润为W，
则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x²+300x﹣8800，
令W＝2400，
则﹣2x2+300x﹣8800＝2400，
解得：x＝70或x＝80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，
答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．
21．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
解：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点
A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，m2﹣2m﹣3），再根据S△ABD＝2S△ABC，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接BC，
由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝1+或1﹣，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（1+，6）或（1﹣，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
∴n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
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