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山东省东营市广饶县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山东省东营市广饶县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省东营市广饶县九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
3．已知y＝（m+1）x|m﹣1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0
4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此得到（ ）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
6．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知反比例函数y＝﹣，则（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当x＞﹣3且x≠0时，y＞4
C．图象位于一、三象限 D．当y＜﹣3时，0＜x＜4
8．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为
（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果．）
11．用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
12．若抛物线y＝2（x﹣2）2+k过原点，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
13．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为 ．
14．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是 米．
15．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 ．
16．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 ．
17．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 ．
18．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：3tan30°﹣（cos60°）﹣1+cos45°+；
（2）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4cos30°﹣tan45°．
20．如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC＝10，AD＝8，矩形面积为S，AD与HG交于K，设GF为x，HG为y．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？
21．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
22．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 ．
23．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础．
某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）
24．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
解：抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
y＝﹣7x2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣7x2．
故选：B．
2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
3．已知y＝（m+1）x|m﹣1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0
【分析】根据y＝ax2+bx+c（a是不为0的常数）是二次函数，可得答案．
解：y＝（m+1）x|m﹣1|+2m是y关于x的二次函数，则|m﹣1|＝2且m+1≠0．，
解得：m＝3．
故选：B．
4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选：C．
5．如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此得到（ ）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
【分析】首先根据图象所处的象限判定k3＞0，k1＜0，k2＜0，然后根据图象得到当x＝﹣1时，y1＞y2，从而得到正确的选项．
解：∵y3位于第一象限，y1和y2位于第二象限，
∴k3＞0，k1＜0，k2＜0，
∵当x＝﹣1时，y1＞y2，
∴k2＞k1，
∴k3＞k2＞k1，
故选：C．
6．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．
解：连接BC，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝，BC＝，AC＝，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠BAC＝＝，
故选：B．
7．已知反比例函数y＝﹣，则（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当x＞﹣3且x≠0时，y＞4
C．图象位于一、三象限 D．当y＜﹣3时，0＜x＜4
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵反比例函数y＝﹣，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A错误；
该函数图象位于第二、四象限，故选项C错误；
当﹣3＜x＜0时，y＞4，当x＞0时，y＜0，故选项B错误；
当y＜﹣3时，0＜x＜4，故选项D正确；
故选：D．
8．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【分析】将平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，再得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
解：如图所示，过点P作PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝6，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为3，
即DO•EO＝3，
∴设P点坐标为（x，y），
k＝xy＝﹣3，
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD．
在△ACO与△BCD中，
．
∴△ACO≌△BCD（AAS）．
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝，
将B（3，1）代入y＝，
∴k＝3．
∴y＝．
∴把y＝2代入y＝，
∴x＝．
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度．
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）．
故选：A．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为
（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，
故①正确，符合题意；
②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
∴③错误，不符合题意；
④当y＝3时，ax2+bx+c＝3，
由图象知，抛物线上有两个点满足条件，
即方程ax2+bx+c﹣3＝0总有两个根；
∴④正确，符合题意；
⑤从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，
当x＝2时，y2＞0，
∴有y1＜0＜y2，
故⑤正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果．）
11．用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y＝2（x+1）2+3． ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：y＝2x2+4x+5＝2（x2+2x+1﹣1）+5＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
12．若抛物线y＝2（x﹣2）2+k过原点，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （4，0） ．
【分析】利用抛物线的对称性求解．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线过原点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
13．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】因为点A关于对称轴的对称点为点B，连接AC，设直线AC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MB+MC的值最小，再求得点M的坐标即可．
解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣3，0），C（0，3）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝kx+b，得
，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+3；
设直线AC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MB+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
14．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是 米．
【分析】如图，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，由待定系数法求出抛物线的解析式，将y＝1.6时代入解析式就可以求出结论．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，由题意，得
0＝a（0﹣2.5）2+2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2.5）2+2．
当y＝1.6时，
1.6＝﹣（x﹣2.5）2+2．
解得：x1＝，x2＝，
∴他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：
[﹣（）]＝．
故答案为：．
15．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 x1＝2，x2＝4 ．
【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得x1＝2，x2＝4．
故答案为：x1＝2，x2＝4．
16．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 0或1 ．
【分析】讨论：当k＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝（﹣2）2﹣4k＝0抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值．
解：当k＝0时，函数解析式变形为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，
综上所述，k的值为0或1．
故答案为0或1．
17．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 1或5 ．
【分析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在Rt△ABD中由cos∠BAD＝＝，可设设AD＝2x，则AB＝3x，结合BD的长根据勾股定理可得，求得x的值后即可得AB＝AC＝3，AD＝2，在锐角三角形中CD＝AC﹣AD，在钝角三角形中CD＝AC+AD即可得答案．
解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝＝，
∴设AD＝2x，则AB＝3x，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
由①知，AD＝2x＝2，AB＝AC＝3x＝3，
∴CD＝AC+AD＝5，
故答案为：1或5．
18．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 （0，2） ．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2），
∴B2022（0，2），
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：3tan30°﹣（cos60°）﹣1+cos45°+；
（2）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4cos30°﹣tan45°．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再把除法变成乘法，根据分式的乘法法则进行计算，求出x的值，最后代入求出答案即可．
解：（1）原式＝3×﹣+2×+
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1；
（2）（1﹣）÷
＝•
＝•
＝，
∵x＝4cos30°﹣tan45°＝4×﹣1＝2﹣1，
∴原式＝．
20．如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC＝10，AD＝8，矩形面积为S，AD与HG交于K，设GF为x，HG为y．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意用含x的式子表示出AK，然后通过求证△AHG∽△ABC，根据对应边成比例，即可推出y与x的函数关系式；
（2）根据矩形的面积公式，则可推出S＝xy，然后根据（1）的结论，即可表示出S关于x的二次函数式，根据二次函数的性质，即可推出x取何值时，S的值最大．
解：（1）∵矩形EFGH，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴AK⊥HG，KD＝GF，
∴△AHG∽△ABC，
∵BC＝10，AD＝8，GF为x，HG为y．
∴AK＝8﹣x，
∵AK：AD＝GH：BC，
∴，
∴y＝﹣；
（2）∵S矩形EFGH＝GH•GF＝xy＝x•（﹣），
∴S＝，
∴x＝＝4，
∴当x＝4时，S的值最大．
21．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；
（2）由题意得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵尽可能投入少，
∴x2＝10舍去．
答：应该增加5条生产线．
（3）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
22．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 x＜﹣3或0＜x＜2 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 （3，0）或（﹣5，0） ．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．
（2）通过观察图象交点求解．
（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．
解：（1）将（2，3）代入得3＝，
解得k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
∴﹣2n＝6，
解得n＝﹣3，
所以点B坐标为（﹣3，﹣2），
把（﹣3，﹣2），（2，3）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）由图象可得当x＜﹣3或0＜x＜2时式．
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2．
（3）设点P坐标为（m，0），一次函数与x轴交点为E，
把y＝0代入y＝x+1得0＝x+1，
解得x＝﹣1，
∴点E坐标为（﹣1，0）．
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×3PE+×2PE＝PE，
∴PE＝10，即|m+1|＝10，
解得m＝3或m＝﹣5．
∴点P坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
故答案为：（3，0）或（﹣5，0）．
23．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础．
某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）
【分析】过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝24+x，解直角三角形即可得到答案．
解：过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，
延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x＝16（m），
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝16.6（m），
答：天和核心舱的高度约为16.6m．
24．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
解：（1）停止加热时，设y＝，
由题意得：50＝，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为（9，100），
∴B点坐标为（8，100），
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；
（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得：
∴所求抛物线解析式为：
y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线解析式为：
y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）
或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
＝
＝﹣+
∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）．
2021-2022学年山东省东营市广饶县九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
3．已知y＝（m+1）x|m﹣1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0
4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此得到（ ）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
6．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知反比例函数y＝﹣，则（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当x＞﹣3且x≠0时，y＞4
C．图象位于一、三象限 D．当y＜﹣3时，0＜x＜4
8．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为
（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果．）
11．用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
12．若抛物线y＝2（x﹣2）2+k过原点，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
13．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为 ．
14．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是 米．
15．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 ．
16．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 ．
17．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 ．
18．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：3tan30°﹣（cos60°）﹣1+cos45°+；
（2）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4cos30°﹣tan45°．
20．如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC＝10，AD＝8，矩形面积为S，AD与HG交于K，设GF为x，HG为y．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？
21．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
22．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 ．
23．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础．
某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）
24．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
解：抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
y＝﹣7x2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣7x2．
故选：B．
2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
3．已知y＝（m+1）x|m﹣1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0
【分析】根据y＝ax2+bx+c（a是不为0的常数）是二次函数，可得答案．
解：y＝（m+1）x|m﹣1|+2m是y关于x的二次函数，则|m﹣1|＝2且m+1≠0．，
解得：m＝3．
故选：B．
4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选：C．
5．如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此得到（ ）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
【分析】首先根据图象所处的象限判定k3＞0，k1＜0，k2＜0，然后根据图象得到当x＝﹣1时，y1＞y2，从而得到正确的选项．
解：∵y3位于第一象限，y1和y2位于第二象限，
∴k3＞0，k1＜0，k2＜0，
∵当x＝﹣1时，y1＞y2，
∴k2＞k1，
∴k3＞k2＞k1，
故选：C．
6．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．
解：连接BC，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝，BC＝，AC＝，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠BAC＝＝，
故选：B．
7．已知反比例函数y＝﹣，则（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当x＞﹣3且x≠0时，y＞4
C．图象位于一、三象限 D．当y＜﹣3时，0＜x＜4
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵反比例函数y＝﹣，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A错误；
该函数图象位于第二、四象限，故选项C错误；
当﹣3＜x＜0时，y＞4，当x＞0时，y＜0，故选项B错误；
当y＜﹣3时，0＜x＜4，故选项D正确；
故选：D．
8．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【分析】将平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，再得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
解：如图所示，过点P作PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝6，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为3，
即DO•EO＝3，
∴设P点坐标为（x，y），
k＝xy＝﹣3，
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD．
在△ACO与△BCD中，
．
∴△ACO≌△BCD（AAS）．
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝，
将B（3，1）代入y＝，
∴k＝3．
∴y＝．
∴把y＝2代入y＝，
∴x＝．
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度．
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）．
故选：A．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为
（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，
故①正确，符合题意；
②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
∴③错误，不符合题意；
④当y＝3时，ax2+bx+c＝3，
由图象知，抛物线上有两个点满足条件，
即方程ax2+bx+c﹣3＝0总有两个根；
∴④正确，符合题意；
⑤从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，
当x＝2时，y2＞0，
∴有y1＜0＜y2，
故⑤正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果．）
11．用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y＝2（x+1）2+3． ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：y＝2x2+4x+5＝2（x2+2x+1﹣1）+5＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
12．若抛物线y＝2（x﹣2）2+k过原点，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （4，0） ．
【分析】利用抛物线的对称性求解．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线过原点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
13．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】因为点A关于对称轴的对称点为点B，连接AC，设直线AC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MB+MC的值最小，再求得点M的坐标即可．
解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣3，0），C（0，3）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝kx+b，得
，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+3；
设直线AC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MB+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
14．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是 米．
【分析】如图，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，由待定系数法求出抛物线的解析式，将y＝1.6时代入解析式就可以求出结论．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，由题意，得
0＝a（0﹣2.5）2+2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2.5）2+2．
当y＝1.6时，
1.6＝﹣（x﹣2.5）2+2．
解得：x1＝，x2＝，
∴他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：
[﹣（）]＝．
故答案为：．
15．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 x1＝2，x2＝4 ．
【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得x1＝2，x2＝4．
故答案为：x1＝2，x2＝4．
16．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 0或1 ．
【分析】讨论：当k＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝（﹣2）2﹣4k＝0抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值．
解：当k＝0时，函数解析式变形为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，
综上所述，k的值为0或1．
故答案为0或1．
17．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 1或5 ．
【分析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在Rt△ABD中由cos∠BAD＝＝，可设设AD＝2x，则AB＝3x，结合BD的长根据勾股定理可得，求得x的值后即可得AB＝AC＝3，AD＝2，在锐角三角形中CD＝AC﹣AD，在钝角三角形中CD＝AC+AD即可得答案．
解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝＝，
∴设AD＝2x，则AB＝3x，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
由①知，AD＝2x＝2，AB＝AC＝3x＝3，
∴CD＝AC+AD＝5，
故答案为：1或5．
18．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 （0，2） ．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2），
∴B2022（0，2），
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：3tan30°﹣（cos60°）﹣1+cos45°+；
（2）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4cos30°﹣tan45°．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再把除法变成乘法，根据分式的乘法法则进行计算，求出x的值，最后代入求出答案即可．
解：（1）原式＝3×﹣+2×+
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1；
（2）（1﹣）÷
＝•
＝•
＝，
∵x＝4cos30°﹣tan45°＝4×﹣1＝2﹣1，
∴原式＝．
20．如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC＝10，AD＝8，矩形面积为S，AD与HG交于K，设GF为x，HG为y．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意用含x的式子表示出AK，然后通过求证△AHG∽△ABC，根据对应边成比例，即可推出y与x的函数关系式；
（2）根据矩形的面积公式，则可推出S＝xy，然后根据（1）的结论，即可表示出S关于x的二次函数式，根据二次函数的性质，即可推出x取何值时，S的值最大．
解：（1）∵矩形EFGH，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴AK⊥HG，KD＝GF，
∴△AHG∽△ABC，
∵BC＝10，AD＝8，GF为x，HG为y．
∴AK＝8﹣x，
∵AK：AD＝GH：BC，
∴，
∴y＝﹣；
（2）∵S矩形EFGH＝GH•GF＝xy＝x•（﹣），
∴S＝，
∴x＝＝4，
∴当x＝4时，S的值最大．
21．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；
（2）由题意得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵尽可能投入少，
∴x2＝10舍去．
答：应该增加5条生产线．
（3）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
22．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 x＜﹣3或0＜x＜2 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 （3，0）或（﹣5，0） ．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．
（2）通过观察图象交点求解．
（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．
解：（1）将（2，3）代入得3＝，
解得k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
∴﹣2n＝6，
解得n＝﹣3，
所以点B坐标为（﹣3，﹣2），
把（﹣3，﹣2），（2，3）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）由图象可得当x＜﹣3或0＜x＜2时式．
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2．
（3）设点P坐标为（m，0），一次函数与x轴交点为E，
把y＝0代入y＝x+1得0＝x+1，
解得x＝﹣1，
∴点E坐标为（﹣1，0）．
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×3PE+×2PE＝PE，
∴PE＝10，即|m+1|＝10，
解得m＝3或m＝﹣5．
∴点P坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
故答案为：（3，0）或（﹣5，0）．
23．2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础．
某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）
【分析】过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝24+x，解直角三角形即可得到答案．
解：过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，
延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x＝16（m），
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝16.6（m），
答：天和核心舱的高度约为16.6m．
24．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
解：（1）停止加热时，设y＝，
由题意得：50＝，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为（9，100），
∴B点坐标为（8，100），
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；
（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得：
∴所求抛物线解析式为：
y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线解析式为：
y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）
或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
＝
＝﹣+
∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）．
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