2020-2021学年上海市行知中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市行知中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据，可求得的表达式，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】因为，

所以或，

所以，或，

所以是的必要不充分条件.

故选：B

2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以原点为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点的坐标．

【详解】因为为单位圆上一点，以轴正半轴为始边为始边，为终边的角为，

若将绕点顺时针旋转至，则点的横坐标为，

点的纵坐标为，故点的坐标为.

故选：C.

3．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）

A．8100 B．900 C．81 D．9

【答案】C

【分析】利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.

【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：

,解得；

当鲑鱼游静止时的耗氧量：

,解得；

所以.

故选：C

【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.

4．对于函数，有以下四个命题：

（1）对于任意实数,为偶函数；

（2）存在实数,使得有两个零点；

（3）的最小值为；

（4）存在实数,使得在上是严格减函数.

其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】利用函数得单调性和奇偶性对四个命题逐一判断正误即得结果.

【详解】（1）函数，定义域R，由知，为偶函数，该命题正确；

（2）时，.

设，则，，即，

故，即，在上单调递增，

由（1）知为偶函数，故在上单调递减，

故时，函数取得最小值，

故存在时有两个零点，该命题正确；

（3）由（2）知，最小值时，函数取得最小值，该命题正确；

（4）由（2）知，对任意实数a，在上单调递减，在上单调递增.

故存在实数,使得在上是严格减函数，也是正确的.

故正确命题有4个.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法

（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.

二、填空题

5．已知集合，,则_________.

【答案】

【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】，,

当时，由，可得，则的取值有：、，

因此，.

故答案为：.

6．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________．

【答案】

【详解】设扇形的半径和弧长分别为，由题设可得，则扇形圆心角所对的弧度数是，应填答案．

7．函数的反函数是_________.

【答案】，

【分析】根据反解出x关于y的解析式，并得到函数取值范围，再交换变量即得到反函数的解析式.

【详解】函数，则，反解出，

变量交换可得，，即，.

故答案为：，.

【点睛】易错点睛：

求解反函数时，原函数的值域是反函数的定义域，故忘记研究反函数的定义域是本题的易错点.

8．若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用

【解析】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，.

【解析】含绝对值的不等式的解法.

【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.

9．若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为　   　．

【答案】

【分析】先由条件判断sinθ＞0，cosθ＜0，得到sinθ﹣cosθ，把已知条件代入运算，可得答案．

【详解】∵θ是△ABC的一个内角，且，

∴sinθ＞0，cosθ＜0，

∴sinθ﹣cosθ，

故答案为 ．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sinθ﹣cosθ  换成是解题的关键．

10．函数的严格减区间是_________.

【答案】

【分析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.

【详解】由可得，解得，即的定义域为，

令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又是增函数，

所以函数的严格减区间是.

故答案为：

11．如果是第三象限角，则的终边一定不在第_________象限.

【答案】二

【分析】根据是第三象限角，求得的范围，分别令，，可判断终边所在象限，即可得答案.

【详解】由题意得：，

所以，

当时，，则的终边在第一象限；

当时，，则的终边在第三象限；

当时，，则的终边在第四象限，

所以的终边一定不在第二象限，

故答案为：二

12．若函数是定义在上的奇函数，且当时，,则不等式的解集为_________.

【答案】

【分析】根据时，的解析式，可判断的单调性，又，根据是定义在上的奇函数，可得，根据的单调性，即可得答案.

【详解】当时，为增函数，为减函数，

所以在上为增函数，又，

所以当时，，

当时，，

又函数是定义在上的奇函数，所以，且在上单调性与上单调性相同，也为增函数，

所以时，，

当时，，

又奇函数，

所以不等式的解集为，

故答案为：

【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的单调性、奇偶性，对于奇函数，，左右两侧单调性相同，若在处有定义，则，灵活应用，即可得答案.

13．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由题意可得，然后求出不等式的解，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得的值.

【详解】由题意知，

因为函数的值域为，所以，，可得，

由可知，且有，解得，

所以，，，

所以，，解得.

故答案为：.

【点睛】利用一元二次不等式的解集求参数，一般转化为解集的端点值为对应的一元二次方程的根，可以利用韦达定理或者利用代入法求解.

14．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.

【答案】

【分析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.

【详解】

设直线的方程为，由，得，所以点，

由，得，所以点，从而，

如图，取的中点，连接，

因为为等边三角形，则，所以，，

则点，

因为点在函数的图象上，则，

解得，所以点的纵坐标为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解.

15．已知函数若有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据有三个不同的零点，可得与的图象有三个不同的交点，画出图象，数形结合，即可得答案.

【详解】因为有三个不同的零点，

所以有三个不同的根，即与的图象有三个不同的交点，

画出图象，如图所示

当过点（2,1）时，解得，

所以当时与的图象有三个不同的交点，即若有三个不同的零点，

故答案为：

16．对于正整数,设函数，其中表示不超过的最大整数，设，则的值域为_________.

【答案】

【分析】先由题中条件，得到，讨论，，，四种情况，再判断的周期性，即可得出结果.

【详解】由题意，，

当时，，，此时；

当时，，，此时；

当时，，，此时；

当时，，，此时；

又，所以是以为周期的函数，

因此的值域为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据一个单位区间内，的不同取值，确定，，的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解.

三、解答题

17．已知角是第三象限角，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值；

（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果．

【详解】解：（1）tanα，sin2α+cos2α＝1，

∴或，而角是第三象限角，则，

故；

（2）

.

∵，

∴原式.

【点睛】方法点睛：

已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.

18．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 .

（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；

（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）确定为5千件时，利润最大．

【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润；

 (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．

【详解】(I)设利润是 (万元)，则，

∴；

 (II)时，，

由“对勾函数”知，当，即时，，

当时，是减函数，时，，

∴时，，

∴生产量为5千件时，利润最大．

【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．

19．已知函数.

（1）证明：是偶函数；

（2）用定义证明：在上是严格减函数；

（3）求的值域.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）先判断定义域关于原点对称，再证明，即证结论；

（2）时先化简函数，再任取，证明，即证结论；

（3）由（2）同理判断时函数的单调性和值域，利用上函数的单调性求值域，即得到时的值域，再结合函数的对称性得到在定义域内的值域即可.

【详解】解：（1）函数，定义域为，定义域关于原点对称.

由知，是偶函数；

（2）时，，

任取，则，

因为，所以，即，

故在上是严格减函数；

（3）由（2）同理可知，时，，在上也是严格减函数，故值域；时，在上是严格减函数，值域为.故时的值域为.

又因为是偶函数，图象关于y轴对称，

所以的值域为.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：

（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.

20．如果函数在其定义域内存在实数,使得（为常数）成立，则称函数为“对的可拆分函数”.

（1）判断是否是“对2的可拆分函数”；

（2）若是“对3的可拆分函数”，求实数的取值范围；

（3）若是“对2的可拆分函数”，求实数的取值范围.

【答案】（1）不是“对2的可拆分函数”；（2）；（3）.

【分析】（1）根据新定义，验证是否有解即可；

（2）根据新定义，有解，分类参数得，求右边函数的值域即得参数的取值范围；

（3）根据新定义，有解，分类参数得，求右边函数的值域即得参数的取值范围.

【详解】解：（1）若，则，

由，，可知恒成立，

故函数在其定义域内不存在实数,使得成立，

故不是“对2的可拆分函数”；

（2），则，

由是“对3的可拆分函数”可知，有解，

即有解，

又，则有解，而，故.

所以实数的取值范围为；

（3），则，，

由是“对2的可拆分函数”可知，有解，

即有解，又，则有解.

设，则，有解，

对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

即时，，取得最大值为.

所以.

【点睛】关键点点睛：

本题是新定义题，解题关键在于对新定义的理解，通过满足方程有解，将问题转化成有解问题来突破难点即可.

21．已知函数，当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数，

（1）解关于的不等式；

（2）对任意的的图像总在其相关函数图像的下方，求的取值范围；

（3）若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由对数函数的单调性，结合不等式得真数的取值范围，即求得不等式的解集；

（2）先求出，题意转化为不等式对任意的恒成立，再求实数的取值范围即可；

（3）利用方程脱掉对数符号，得到二次函数，再利用韦达定理得到，求得取值范围即可.

【详解】解：（1）依题，则，所以

所以原不等式的解集为；

（2）由题意知，点在函数图像上，

即，所以.

即的相关函数为.

依题意，对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，

即当，恒成立①.

首先由，知对任意的总成立，即对数式有意义.

在此条件下，①等价于时，恒成立，

即，即.

设，

要使时，恒成立，

只需，即成立，解得，故，

综上可知，的取值范围是；

（3）由（2）知，

首先由，知对任意的正数x总成立，即对数式有意义.

故即，即有两个不相等的正实数根，则，，，

即，对称轴是，故在上单调递减，

故.

所以的取值范围为.

【点睛】方法点睛：

与对数函数有关的复合函数的性质（如最值）以及对数不等式的恒成立，解决这类问题，通常是“脱去对数符号”，把问题转化为二次函数在给定范围上的恒成立或分式函数的最值来讨论.