2022-2023学年上海市行知中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市行知中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列函数不是指数函数的是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由指数函数的定义，一一判断，即可得出选项．

【详解】指数函数是形如（且）的函数.

对于A：，系数不是1，所以不是指数函数；

对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数；

对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数；

对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．

2．下列不等式中正确的是（    ）

A．若且，则；

B．若，则

C．若，则；

D．若，则.

【答案】A

【分析】根据不等式的性质判断．

【详解】且，则，A正确；

当时，，B错误；

若，则，，即，C错误；

若，满足，但，D错误．

故选：A．

3．下列运用平均值不等式求最小值结果正确的是（    ）

A．若，则由得的最小值是0；

B．若则由得的最小值为2；

C．若且，则由得的最小值为2；

D．设，则由得最小值是2.

【答案】D

【分析】利用基本不等式判断即可.

【详解】解：对于A：当时的最小值是，故A错误；

对于B：当则，所以，

当且仅当即，时取等号，显然，

故上述式子不能取等号，即没有最小值，故B错误；

对于C：当时，当且仅当，即时取等号，故C错误；

对于D：因为，所以，，所以，当且仅当时取等号，故D正确；

故选：D

4．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．9

【答案】C

【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论．

【详解】由已知，又，所以或，

又中显然是一个解，即，因此，所以，

所以有两个相等的实根且不为0，

，，经检验符合题意，，

所以．

故选：C．

二、填空题

5．若，则=__________.

【答案】2

【分析】将对数式化为指数式，由此求得.

【详解】由于，所以.

故答案为：

6．把化成有理数指数幂的形式为__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答.

【详解】，.

故答案为：

7．语句“或”的否定形式是__________.

【答案】

【分析】写命题的否定时，联结词“或”要改成“且”.

【详解】“或”的否定是“且”，即，

故答案为：.

8．化简__________.

【答案】1

【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．

【详解】

故答案为：1．

9．若全集，则__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，直接利用并集、补集的定义求解作答.

【详解】因，则，而全集，

所以.

故答案为：

10．若一元二次方程两实数根为，则__________.

【答案】##

【分析】利用韦达定理计算可得.

【详解】解：因为一元二次方程两实数根为，

所以，，

所以.

故答案为：

11．若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的意义列式作答.

【详解】因“”是“”的必要非充分条件，则，即有，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

12．若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答.

【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且，

因此，且，不等式化为：，而，解得，

所以关于的不等式的解集为.

故答案为：

13．设，则可用表示为__________.

【答案】

【分析】根据对数的换底公式及运算法则变形可得．

【详解】，所以．

故答案为：．

14．若集合或，且，，则的值为__________．

【答案】2

【分析】根据交集的概念及A∩B＝{x|1＜x≤2}，可得b＝2，再根据并集的概念及A∪B＝{x|x＞－1}，可得a＝0，从而得到答案．

【详解】∵A＝{x|－1＜x＜0或x＞1}，B＝{x|a≤x≤b}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，∴b＝2，

又∵A∪B＝{x|x＞－1}，∴a＝0，

则a＋b＝2．

故答案为：2．

15．行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是__________.

【答案】18

【分析】根据给定条件，利用集合思想结合容斥原理列式计算作答.

【详解】记该班全体学生形成集合U，该班学生人数为n，参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合A，则，

参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合B，则，两个科目都参加选拔的人数为，

于是得，

两个科目都不参加的学生人数为，依题意，，

即有，解得，则，

所以该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是18.

故答案为：18

16．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，按分类讨论，构造函数并求出其最小值，再借助恒成立的不等式求解作答.

【详解】当时，不等式对恒成立，则，

当时，不等式，

令，则有，依题意，不等式对恒成立，

令，显然在上单调递减，在上单调递增，

，则，又，因此，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

三、解答题

17．解下列不等式

(1)；

(2)．

【答案】(1){ x|x＜0或x＞}

(2){x|－3＜x＜4}

【分析】（1）不等式转化为，求出解集即可；

（2）不等式转化为－7＜2x－1＜7，求出解集即可．

【详解】（1）由，得，即，

则x(4x－1)＞0，解得x＜0或x＞，

∴不等式的解集为{ x|x＜0或x＞}．

（2）由|2x－1|＜7，得－7＜2x－1＜7，解得－3＜x＜4，

∴不等式的解集为{x|－3＜x＜4}．

18．已知关于的一元二次方程，

(1)若，求证：；

(2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求证．

（2）关于的方程有两个不相等的正实数根，则，且，即可求解的取值范围.

【详解】（1），，

，，．

（2）关于的方程有两个不相等的正实数根，

则，且，

，，

解得：．

19．已知某市最低工资标准为每月2590元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴：补贴规则：个人月收入不高于6000元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额月工资收入，贷款月还款额不得高于8000元，贷款月还款额高于8000元的，只对8000元部分进行补贴，高于8000元部分不予补贴

(1)若某人工资为4000元，贷款月还款额为5000元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？

(2)对于月工资收入不高于6000元的贷款买房的居民中，若贷款月还款额均为5000元，且约定；实际月收入=月工资+月贷款补贴-月还贷款，则贷款买房的居民中实际月收入最低为多少元？（结果均保留整数位，购房人均符合贷款条件，均不考虑扣税问题）

【答案】(1)2500元；

(2)1324元.

【分析】（1）根据给定的模型，直接计算作答.

（2）设月工资为x元，根据给定的模型求出实际月收入关于x的函数，再利用均值不等式求解作答.

【详解】（1）依题意，某人工资为4000元，贷款月还款额为5000元，则他每月获得的贷款补贴是元.

（2）设月工资为x元，则实际月收入，，

，

当且仅当，即时取等号，

所以贷款买房的居民中实际月收入最低约为1324元.

20．已知自变量为的函数，

(1)若且，则函数图像可由幂函数______（写解析式）先沿轴方向______平移______个单位，再沿轴方向向上平移______个单位得到；

(2)当且时不等式对恒成立，求实数的最大值；

(3)若且关于的不等式解集是单元素集，试写出函数的严格单调区间，并说明单调性（不需要证明单调性）

【答案】(1)，向左，一，一

(2)

(3)单调递增区间为和

【分析】（1）依题意可得，再根据函数的平移变换判断即可；

（2）依题意不等式等价于对恒成立，则，即可求出参数的取值范围，即可得解；

（3）分和两种情况讨论，当，则，即可取出参数的值，从而得到的函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可.

【详解】（1）解：当且时，

是由幂函数，先沿轴方向向左平移一个单位，再沿轴方向向上平移一个单位得到.

（2）解：当且时不等式即对恒成立，

因为且，所以，

所以等价于对恒成立，

即对恒成立，

因为函数的对称轴，且，

则只需，解得，所以的最大值为.

（3）解：因为关于的不等式解集是单元素集，

由则或，

若，则，解得，此时不等式为，解得，不符合题意，

若，即，解得或，

则，

令，则，解得或，

当，解得，若，解得（舍去），

所以，

则函数即为，

因为在和上单调递增，

所以的单调递增区间为和.

21．对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合.

(1)若，求集合和；

(2)已知为有限集，若，证明：.

(3)若，求的值.

【答案】(1)，；

(2)证明见解析；

(3)答案见解析.

【分析】（1）根据给定的定义，求出集合C及其元素个数作答.

（2）分中至少含有一个不在D中的元素、两种情况分别推理作答.

（3）根据给定条件，确定集合中的元素个数即可计算作答.

【详解】（1）集合，而，

所以，.

（2）依题意，，，当且仅当时取等号，

若中至少含有一个不在D中的元素，则有，

当时，则有，因为有限集，且，令的最小元素为，

此时集合A中最小的元素，集合B中最小的元素，因此集合C中最小的元素，即，

于是得，有，

所以.

（3），因集合，若或，则，不符合题意，因此且，

当集合中有存在3元素的集合时，不妨令，令，若，

则有，即集合C中至少有4个元素，不符合题意，同理，因此，，

当集合都只有1个元素时，集合C只有1个元素，不符合题意，

当集合中一个只有1个元素，另一个有两个元素时，集合C只有2个元素，不符合题意，

当集合都有2个元素时，令，，

，若，有，满足，此时，

若，有，此时，不符合题意，

所以或的值可能为4.

【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.