2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，函数是R上的偶函数，

若，则，则成立，即充分性成立；

若，则或，即必要性不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．

【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D．

故选：A．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合A，再根据函数的零点分布，结合A∩B恰有一个整数求解.

【详解】或，

函数的对称轴为，

而，，

故其中较小的零点为之间，另一个零点大于1，，

要使A∩B恰有一个整数，即这个整数解为2，

且，即，解得： ，

则a的取值范围为．

故答案为：B.

【点睛】关键点睛：本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，解题的关键是根据二次函数的性质得出中的整数为2，利用零点存在性定理求解.

4．已知函数则方程的解得个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】化简得出函数的表达式，方程的解得个数，即方程的实数根的个数，作出函数和的图象，结合函数图象可得出答案.

【详解】当时，

当时，

当时，

方程的解得个数，即方程的实数根的个数.

在同一坐标系中作出与的图象，

由，

如图：

函数的图象与的图象有7个交点.

所以函数的零点个数是：7

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数的表达式，作出函数的图象，将问题转化为方程的实数根的个数，即函数的图象与的图象的交点个数，数形结合可解.

二、填空题

5．计算：________．

【答案】

【分析】根据分数指数幂的运算、对数的运算性质求解出结果.

【详解】原式

，

故答案为：.

6．已知，，则等于________．

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值.

【详解】，，因此，．

故答案为：．

7．不等式的解集为______.

【答案】

【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．

【详解】不等式化为，，，

解得或．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：解分式不等式的方法：

把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数．

8．已知一扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是__________．

【答案】

【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.

【详解】因为一扇形的圆心角为，弧长是，

所以其所在圆的半径为，

因此该扇形的面积是.

故答案为：.

9．已知幂函数的图象过点，则______.

【答案】

【分析】由条件求出，然后可求出答案.

【详解】因为幂函数的图象过点

所以，解得，即

所以

故答案为：

10．已知函数是其反函数，则__________.

【答案】

【分析】令即可求出

【详解】解：令，所以，解得，即.

故答案为: .

11．方程的解集为_________.

【答案】

【分析】根据对数运算法则，先将方程化为，得到，求解，再由对数的性质，得到的范围，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，所以，

整理得：，解得或；

又由解得 ；

所以，原方程的解集为

故答案为

【点睛】本题主要考查解对数方程，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型.

12．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】令，方程转化为有正根，由根的判别式结合根与系数关系，建立关于的不等式，求解即可.

【详解】方程有解，

令，则方程有正根，

又两根的积为4，

，解得.

 故答案为：.

【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.

13．已知，且.式子的最小值是___________.

【答案】2

【分析】令，，从而可得，再利用基本不等式即可求解.

【详解】令，，

则，且，

∴，

∴

，

当且仅当取等号，即时成立.

故答案为：2

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

14．已知，，若函数为奇函数，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】利用已知条件得到，又利用为奇函数，即可求出的值，代入，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.

【详解】由，

得

，

又

，

则，

因为，又函数为奇函数，

，

故；

所以，

当时，原式，

对称轴为，

故函数在上为增函数，

所以的最小值为：；

当时，原式，

对称轴为，

故函数在上为增函数，

所以的最小值为：；

当时，原式，

对称轴为，

故函数在上为增函数，在上为减函数，

所以的最小值为：；

当时，原式，

对称轴为，

故函数在上为减函数，

所以的最小值为：；

综上：的最小值是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：形如求最值的问题.

分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，

将数轴分为四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值.

三、解答题

15．已知函数为奇函数.

（1）求实数a的值并证明是增函数；

（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.

【答案】（1），证明见解析；（2）.

【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；

（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；

【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，

由定义，所以

所以，

∴.

所以

证明：任取，

．

，．

，即．

在定义域上为增函数．

（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数

所以.

【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

16．已知函数．

（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间上严格增，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据条件分析出的值域包含，由此根据与的关系分类讨论，求解出结果；

（2）根据两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出的取值范围.

【详解】（1）当时，满足题意；

当时，要使得的值域为，

只需要满足，解得，综上

（2），

当时，外层函数为严格增，所以只需满足；

当时，外层函数为严格减，

所以只需满足，此时不存在，舍去；

综上．

【点睛】思路点睛：形如的函数，若函数的定义域为，则有；若函数的值域为，则有.

17．新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供(万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工人的复工率.公司生产万件防护服还需投入成本(万元).

（1）将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴万元计入公司收入)；

（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？

（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01).

【答案】（1），；（2）2；（3）0.58

【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；

（2）当时，可得，利用基本不等式即可求出；

（3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．

【详解】（1）依题意，，；

（2）当时，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元；

（3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，则在恒成立，

∴，令，，

设在上递增，∴，∴.

即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损.

【点睛】结论点睛：本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，解决此类问题的关键是根据条件准确的求出关系式，对于实际问题的最值问题，常用基本不等式或函数单调性的办法求解，注意实际问题中的取值范围．

18．已知函数，．

（1）当时，求函数的值域；

（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；

（3）已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；

（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.

（3）令，，，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围.

【详解】（1）在区间上严格减，

而，，故函数的值域为．

（2）因为在单调递减，在单调递增，

，则有，即

故，所以

（3）令，由（1）知

令，因为在单调减，在单调递增，

且，，

则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；

当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.

令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：

对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，

且有两个不等根，只有一个根，

则必有或且，

当时，结合二次函数的图象，

则有，解之得，

当且，则，此时无解.

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.