2020-2021学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若，则下列不等式成立的是(　　　　).

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴．

故选B．

2．条件P：，条件Q：，则P是Q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先把P、Q对应的不等式的范围解出来，用集合法判断充要条件关系.

【详解】记集合，或

因为集合P是Q的真子集，所以P是Q的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

3．对于 ，下列结论正确的是(    )

A．当 异号时，左边等号成立

B．当 同号时，右边等号成立

C．当 时，两边等号均成立

D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立

【答案】B

【分析】采用特殊值法验证即可.

【详解】当时，左边等号成立，故A不正确.

当 时，右边等号不成立，故C不正确.

 当 时，右边等号不成立；故D不正确.

故选：B

【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，还考查了特殊与一般的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

4．对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”判断下列三个函数：
；；中是位差奇函数的个数有

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析3个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析3个函数；
对于，，有，
则对任意实数m，是奇函数，
即是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；
对于，，则，
设，不会是奇函数，
则不是“位差奇函数”；
对于，，记，
由，当且仅当等式成立，
则对任意实数m，都不是奇函数，则不是“位差奇函数”；
故选B．

【点睛】本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题

二、填空题

5．幂函数的定义域为________________.

【答案】

【分析】根据函数解析式，则被开方数大于等于零，即可求出函数的定义域；

【详解】解：因为，所以，所以函数的定义域为

故答案为：

6．，且，则________________.

【答案】

【分析】直接由特殊角的三角函数值得到答案.

【详解】因为，且

所以.

故答案为：

7．已知且，若，，则_______________.

【答案】6

【分析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.

【详解】，同理：

∴

故答案为：6

【点睛】对数运算技巧：

(1)指数式与对数式互化；

(2)灵活应用对数的运算性质；

(3) 逆用法则、公式；

(4) 应用换底公式，化为同底结构．

8．已知是第二象限角，，则_______________.

【答案】

【分析】由为第二象限角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值．

【详解】解：是第二象限角，且，

，

则．

故答案为：．

9．集合，，且，则实数取值范围是_______________.

【答案】

【分析】由可得A⊆B，列不等式，即可解得.

【详解】因为，所以A⊆B，

即a≥2

所以实数取值范围是.

故答案为：

【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴；

(2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）．

10．已知方程的两根为，，则_______________.

【答案】-1

【分析】直接利用韦达定理计算可得；

【详解】解：因为方程的两根为，，所以，

所以

故答案为：

11．若函数为偶函数，则_______________.

【答案】2

【分析】把展开，只需一次项系数为0即可.

【详解】

因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.

也可用，解出m=2.

故答案为：2

【点睛】函数奇偶性的应用:

(1)一般用或;

(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 .

12．已知，则的最小值为_______________.

【答案】2

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】，，

当且仅当时，取“”，

所以的最小值为2，

故答案为：2

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．关于的方程有负根，则的取值范围为________________.

【答案】

【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为当时，，所以关于的方程有负根，一定有

成立，解得，

故答案为：

14．设奇函数在是严格增函数，且，则不等式的解集为________________.

【答案】

【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且，得到，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果.

【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是严格增函数，，

所以，且在(－∞，0)上也是增函数.

因为＝，

即或

解得.

故答案为：.

15．设集合，若A为单元素集，则实数a的取值范围________.

【答案】

【分析】A为单元素集转化为只有一解，再用换元法可得答案.

【详解】∵集合为单元素集，

∴只有一解，令，

则，在时有一解，

即，或，解得或，

时，由得，解得，

所以符合题意；

时，由得，解得，

所以符合题意；

∴实数的取值范围是.

故答案为：．

16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．

【详解】解：由题意，在区间上的图象如下图所示：

根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，

则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，

如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．

此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．

设函数图象向下平移了个单位，（）．

，解得.

∴此时函数的最大值为．

根据绝对值函数的特点，可知

实数的取值范围为：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．

三、解答题

17．已知，

求（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将分子、分母同除以即可求解.

（2），再将分子、分母同除以即可求解.

【详解】（1）；

（2）.

18．已知，，

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【分析】先解出集合A和集合B，然后分别根据和。分别求实数的取值范围.

【详解】，，

（1）因为，所以又，

所以实数的取值范围是；

（2）因为，所以，所以，又，

所以实数的取值范围是.

【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴；

(2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）．

19．已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，

（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：

（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少?

【答案】（1），；（2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.

【分析】（1）依题意设车速为，即可得到函数解析式；

（2）利用基本不等式求最值，即可得解．

【详解】解：（1）设车速为，则时间为，

 依题意可得，；

（2），

当且仅当，即时取等号，

所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

20．（1）解不等式：；

（2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P；

（3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或.

【分析】（1）分，，三种情况求解即可；

（2）根据三角不等式得，，由此可得，从而可求出的取值范围；

（3）先解不等式.与|，可得，当时，符合题意，当时，构造函数，则有，从而可求出的值

【详解】（1）若时，，符合题意；

若时，，解得，故；

若时，，无解；

综上，的解是；

（2）根据三角不等式得，，所以，解得或，

∴集合；

（3）由可得，由可得，故，

若，，解得，符合题意；

若，设，由于，所以只要即可

即

因为，可得或；

综上，或或.

【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数，可得，从而可求出的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题

21．已知函数（是常数）.

（1）若，求函数的值域.

（2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方.

（3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围.

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.

【分析】（1）将函数化为，再利用反函数法即可求解.

（2）由奇函数的定义可得，代入解析式化简整理可求；只需证出即可.

（3）由题意只需，，令，，可得，讨论对称轴的取值范围，根据二次函数的性质求出的最值即可求解.

【详解】（1）若，则，即，

整理得，因为，所以，即，

所以函数的值域为；

（2）若为奇函数，则，

即，整理得，

因为恒不为0，所以，解得，此时，

所以，

所以图像始终在的图像的下方﹔

（3）由题意得，，

令，，则，其对称轴为，

①当，即时，严格减，

由得，

解得或，所以，

②当，即时，先减后增左端点高，

由得，无解，

③当，即时，先减后增右端点高，

由得，无解，

④当，即时，严格增，

由得，

解得或，所以，

综上，.

【点睛】关键点点睛：本题考查了求函数的值域、二次函数的最值以及不等式恒成立，解题的关键是得出，考查了分类讨论的思想、数学运算，此题综合性比较强.