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    2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题(解析版)

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    这是一份2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题

     

     

    一、单选题

    1.如果,且,那么下列不等式成立的是(   

    A B C D

    【答案】D

    【分析】,且,可得.再利用不等式的基本性质即可得出

    【详解】,且

    因此

    故选

    【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.

    2.已知函数gx=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为

    At≤–1 Bt<–1

    Ct≤–3 Dt≥–3

    【答案】A

    【分析】由指数函数的性质,可得函数恒过点坐标为,且函数是增函数,图象不经过第二象限,得到关于的不等式,即可求解.

    【详解】由指数函数的性质,可得函数gx=3x+t恒过点坐标为(01+t),函数gx)是增函数,图象不经过第二象限,∴1+t≤0,解得t≤–1.故选A

    【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用,其中熟记指数函数的图象与性质,特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

    3.对于函数,判断下列三个命题的真假:

    命题甲:是偶函数;

    命题乙:上是严格减函数,在上是严格增函数;

    命题丙:上是严格增函数.

    能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是(   

    A①② B②③ C D①③

    【答案】B

    【分析】根据所给函数解析式,利用函数单调性,奇偶性的判定方法,逐个判断三个命题,即可得出结果.

    【详解】对于,其定义域,且,所以是偶函数;满足命题甲为真;

    时,,显然单调递减,不满足命题乙为真;故舍去;

    对于,则显然是偶函数,满足命题甲为真;

    是开口向上,对称轴为的二次函数,所以上是严格减函数,在上是严格增函数,满足命题乙为真;

    因为上显然是严格增函数,即满足命题丙为真;故满足题意;

    对于,则,定义域为,且,所以是偶函数,满足命题甲为真;

    ,满足在上是严格减函数,在上是严格增函数;即命题乙为真;

    ,根据指数函数的性质可得,该函数在每段内都单调递增,且函数连续,所以其在上是严格增函数,满足命题丙为真命题;故满足题意;

    综上,能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是②③.

    故选:B.

    【点睛】关键点点睛:

    求解本题的关键在于根据函数解析式,逐项判断的单调性,以及的奇偶性即可.

    4.已知函数满足,则的最大值是(  )

    A B2 C D4

    【答案】C

    【分析】将条件进行平方,利用作差法构造函数,然后利用基本不等式的性质,转化为关于的一元二次不等式,进行求解即可.

    【详解】

    ,得

    平方得

    等价为

    则不等式等价为

    整理得

    的最大值为

    故选C

    【点睛】本题主要考查函数最值的求解,根据条件利用平方法,构造函数,结合基本不等式的性质,转化为一元二次不等式是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

     

     

    二、填空题

    5.已知,且,则的值为_________

    【答案】3

    【分析】用换元法,令,求出代入后可得,然后解即可..

    【详解】,则,所以

    故答案为:3

    6.若,则_________条件.

    【答案】必要不充分

    【分析】根据充分必要条件的定义判断.

    【详解】时,成立,是必要的.

    时,有,即时不一定有.不充分,

    因此应是必要不充分条件.

    故答案为:必要不充分.

    7.设集合,则_________

    【答案】

    【分析】先求出集合AB,再根据交集定义即可求出.

    【详解】

    .

    故答案为:.

    8.设,则_____(用含的式子表示).

    【答案】

    【分析】直接利用换底公式以及对数的运算法则化简即可.

    【详解】

    ,故答案为.

    【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及换底公式的应用,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于基础题.

    9.已知集合,则的子集个数为______

    【答案】

    【分析】求出集合,确定集合的元素个数,利用集合的子集个数可求得集合的子集个数.

    【详解】,则的子集个数为

    故答案为:.

    【点睛】本题考查集合子集个数的求解,同时也考查了对数函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.

    10.已知全集为,且,则_________

    【答案】

    【分析】由题可得,可得,进而可得,可求出,即得结果.

    【详解】代入得

    所以集合

    从而得,代入得

    所以.

    故答案为:.

    11.幂函数的图象过点,则函数的图象经过定点__________

    【答案】

    【分析】根据幂函数过点可求解析式,写出,根据函数的解析式可求所过定点.

    【详解】因为幂函数过点,可解得

    所以

    时,

    恒过定点.

    故答案为

    【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式,函数过定点,属于中档题.

    12.已知函数的反函数为_________

    【答案】

    【分析】解方程求出,并求出的取值范围后可得反函数.

    【详解】上严格增,所以

    所以

    故答案为:

    13.方程上有解,则实数的取值范围是_________

    【答案】

    【分析】利用基本不等式求解.

    【详解】,当且仅当,即时等号成立,

    .

    故答案为:.

    14.已知函数上存在最小值,则的取值范围是______.

    【答案】

    【分析】对分段函数进行分段讨论即可.

    【详解】时,上单调递减,在存在最小值

    时,上单调递增,

    上存在最小值,则只需满足

    故答案为:.

    【点睛】本题考查函数单调性的应用,也考查了数形结合的思想.

    15.已知是函数的一个零点,是函数的一个零点,则_________

    【答案】

    【分析】,同样由,然后利用函数的图象关于直线对称,可得的关系.

    【详解】由题意得图象关于对称,且图象也关于对称,不妨设,所以也关于对称,所以,又

    故答案为:3

    【点睛】关键点点睛:本题考查函数的零点问题,解题方法是数形结合思想,即把函数的零点转化为方程的根,又转化为函数图象交点的横坐标,然后利用对称性得出结论.这是解决方程根的分布和函数零点个数等问题中的常用方法.

    16.设二次函数为常数).若不等式的解集为,则的最大值为______

    【答案】

    【分析】由不等式恒成立可得,取可得,令,则可得,再利用基本不等式即可求解.

    【详解】,则

    是二次函数,

    要使不等式的解集为,则应满足

    可得

    时,可得,即,令

    当且仅当,即时等号成立,

    的最大值为.

    故答案为:.

    【点睛】关键点睛:本题考查一元二次不等式恒成立和基本不等式的综合应用,解题的关键是根据不等式恒成立得出,继而将不等式转化为,方可利用基本不等式求解.

     

    三、解答题

    17.已知函数

    1)若关于的不等式的解集为,求的值;

    2)当时,解关于的不等式

    【答案】1;(2)当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为

    【分析】(1)由已知可得的两个根为12,将根代入方程中即可求出的值.

    (2)代入,分三种情况进行讨论求解.

    【详解】1)由条件知,关于的方程的两个根为12

    所以,解得

    2)当时,,即

    时,解得;当时,解得

    时,解得

    综上可知,当时,不等式的解集为

    时,不等式的解集为

    【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数值,考查了含参一元二次不等式的求解,属于基础题.

    18.已知函数为常数)是奇函数.

    1)求的值与函数的定义域.

    2)若当时,恒成立.求实数的取值范围.

    【答案】1,定义域为;(2.

    【分析】1)根据函数是奇函数,得到,求出,再解不等式,即可求出定义域;

    2)先由题意,根据对数函数的性质,求出的最小值,即可得出结果.

    【详解】1)因为函数是奇函数,

    所以,所以

    所以,令,解得

    所以函数的定义域为

    2

    时,所以,所以.

    因为恒成立,

    所以,所以的取值范围是.

    【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数,考查求具体函数的定义域,考查含对数不等式,属于常考题型.

    192020年是不平凡的一年,经历过短暂的网课学习后,同学们回到校园开始了正常的学习生活.为了提高学生的学习效率,某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当时,曲线是二次函数图象的一部分,当时,曲线是函数,()图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.


     

    1)试求的函数关系式;

    2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.

    【答案】1;(2)教师能够合理安排时间讲完题目,理由见解析.

    【分析】1)利用待定系数法求函数第一段的解析式,代入特殊点求函数第二段的解析式即可;

    2)利用分段解析式,分别解不等式,即可求出效果最佳的的范围,验证即可.

    【详解】1)当时,设

    将点代入得

    时,;当时,将点代入

    .所以

    2)当时,

    解得

    所以

    时,

    解得,所以

    综上时学生听课效果最佳,

    此时

    答:教师能够合理安排时间讲完题目.

    【点睛】本题主要考查了函数的实际运用,考查了一元二次不等式的解法以及对数函数的性质,是中档题.

    20.设是定义在上的奇函数,且对任意的

    时,都有

    (1),试比较的大小;

    (2)解不等式

    (3)如果这两个函数的定义域的交集是空集,求的取值范围.

    【答案】 2;(3.

    【分析】1)先利用函数单调性的定义证明函数f(x)在在上是增函数,再利用单调性得到的大小.(2)利用函数的单调性得到不等式组,解不等式组得解.(3)分别求出的定义域,再分情况讨论即可.

    【详解】1)设,由奇函数的定义和题设条件,得

     

    上是增函数.

    2上是增函数,不等式等价于

    解得

    原不等式的解集是 .

    3)设函数g(x),h(x)的定义域分别是PQ

    于是等价于

    解得c范围是.

    【点睛】(1)本题主要考查函数单调性的证明和单调性的运用,考查函数的定义域的求法和集合的运算的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用定义法判断函数的单调性的一般步骤:取值,设,且作差,求变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);判断的正负符号;根据函数单调性的定义下结论.

    21.已知,定义表示不小于的最小整数,例如

    1)若,求实数的取值范围;

    2)若,且,求实数的取值范围;

    3)设,若对于任意的,都有,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2;(3

    【分析】1)根据函数定义可直接得出;

    2)由可得,则,即,讨论求解;

    3,可得的值域为,则不等式化为对于任意恒成立,讨论求解.

    【详解】1)根据的定义可得若,则

    的取值范围为

    2)因为,所以

    ,所以

    时,无解,

    时,,解得

    综上,的取值范围

    3

    时函数的值域为

    所以对于任意恒成立,

    时,

    时,

    综上,.

    【点睛】本题考查函数新定义问题,考查函数不等式恒成立问题,解题的关键是正确理解新定义,正确进行不等关系的转化.

     

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