2021-2022学年上海市行知中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市行知中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．“”是“”的（    ）条件

A．必要非充分 B．充分非必要

C．充要 D．既非充分也非必要

【答案】B

【分析】分别求解一元二次不等式及绝对值的不等式，再由集合间的关系结合充分必要条件可得答案.

【详解】由, 得，

, 得 ，

，

“”是“ ”的充分不必要条件.

故选：B

2．已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ）

A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则

B．当或时，曲线表示双曲线

C．当时，曲线表示椭圆

D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则

【答案】C

【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程求解即可.

【详解】选项A：当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，解得，正确；

选项B：当时，曲线表示双曲线，解得或，正确；

选项C：当时，曲线表示椭圆，解得且，错误；

选项D：当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，解得，正确；

故选：C

3．现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：

附：.

根据表中的数据，下列说法中正确的是（    ）A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

【答案】D

【解析】计算出，比较所给数据，可得结论．

【详解】由题意，根据列联表中的数据，得，

又，

所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.

故选：D.

4．关于函数，下列判断正确的是（    ）

①是的极大值点

②函数有且只有1个零点    

③存在正实数，使得成立    

④对任意两个正实数，且，若，则

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③

【答案】C

【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；

对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；

对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；

对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.

【详解】解：对于①，由，求导得，

令，解得，可得下表：

则为函数的极小值点，故①错误；

对于②，由，

求导得：，

则函数在上单调递减，

当时，，

当时，，

由，故函数有且只有1个零点，故②正确；

对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，

令，求导得，

令，则，

在上，，函数单调递增；

在上，，函数单调递减，

，，

在上单调递减，无最小值，

不存在正实数，使得恒成立，故③错误；

对于④，令，则，，

令，

则，

在上单调递减，则，即，

令，由，且函数在上单调递增，得，

则，当时，显然成立，故④正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了导数得应用，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，运算量较大，有一定的难度.

二、填空题

5．已知集合，若，则___________.

【答案】

【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解.

【详解】，，

则或，

解得或，

当时，集合中有两个相同元素，（舍去），

所以.

故答案为：

6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数__________

【答案】

【分析】由双曲线的性质结合题意可得，即可得解.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，

即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为________.

【答案】

【分析】先求出直线和的交点，再根据直线与垂直，设出所求直线方程，将交点坐标代入可求出直线方程，从而可求出直线在轴上的截距.

【详解】由，得，

所以直线过点，

因为直线与直线垂直，

所以设直线为，则

，解得，

所以直线的方程为，

当时，，

所以直线在轴上的截距为，

故答案为：.

8．已知，则________.

【答案】6

【分析】利用求导公式求导，从而可得出答案.

【详解】解：，

则.

故答案为：6.

9．已知，，则________.

【答案】##

【分析】由条件概率公式求解，

【详解】由题意得，而，得，

而，解得，

故答案为：

10．斜率为2的直线与圆锥曲线交于、两点，若弦长，则_________.

【答案】4

【分析】利用两点间距离公式，结合斜率坐标公式计算作答.

【详解】依题意，，即，于是得，

而，因此，所以.

故答案为：4

11．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴2000元，该市区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元（参考数据：取.

【答案】1637.2

【分析】求出，利用中心点求得，然后令代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数，可得补贴总额．

【详解】解：由已知，

，

所以，则，即，

时，，

估计应补贴（万元）．

故答案为：．

12．若，，且，则恒成立的实数的最大值是_______.

【答案】9

【分析】先利用均值定理求得的最小值，进而由恒成立求得实数的最大值

【详解】由，可得，又，，

则

（当且仅当时等号成立）

即的最小值为9，

则由恒成立，可得，则实数的最大值是9

故答案为：9

13．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线离心率的3倍为___________.

【答案】5

【分析】由双曲线的性质与勾股定理列式求解，

【详解】由题意得，则，

而为等腰三角形，由勾股定理得，

，即，而，解得，，

故答案为：5

14．已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则四边形面积的最小值为___________.

【答案】8

【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可.

【详解】由圆得，

因为四边形的面积，

在中，

要使四边形的面积最小，只需要最小即可，

此时，所以，

所以，，

故答案为：8

三、解答题

15．（1）设，求方程的解集；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）分，，和四种情况讨论，去绝对值符号，从而可得解；

（2）分离参数可得不等式等价于，即可得解.

【详解】解：（1）当时，，所以；

当时，舍去；

当时，舍去；

当时，，所以.

综合得方程的解集为；

（2）由不等式对恒成立，

得对恒成立，

因为，所以，

则不等式等价于对恒成立，

所以，

所以实数的取值范围为.

16．已知抛物线的焦点与双曲线右顶点重合.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设过点的直线与抛物线交于不同的两点、，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由抛物线与双曲线的性质求解，

（2）联立直线与抛物线方程，由平面向量数量积的坐标运算与韦达定理化简求解，

【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为，

（2）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，，

联立得，

由韦达定理得，

而，

则

化简得，即

解得，经检验，满足直线与抛物线相交，

故直线的方程为

17．王同学到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试.若王同学能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰.

(1)求王同学通过面试的概率；

(2)记本次面试王同学回答问题的个数为，求的分布列及数学期望（提示：若错误回答三个问题，则面试终止）.

【答案】(1)；

(2)X的分布列为，

【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解，

（2）由概率的乘法公式与加法公式求解分布列，由数学期望公式求解，

【详解】（1）王同学3个问题通过面试的概率为，

王同学4个问题通过面试的概率为，

王同学5个问题通过面试的概率为，

故王同学通过面试的概率为

（2）由题意得的取值为，

，，

，

故X的分布列为，

18．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为；, 无极大值

(2).

【分析】(1) 极值点就是导数等于零的解, 且在解的左右两边区间的导数符号异号时才是极值点, 进 而求出极值.

(2) 函数有两个零点，转化为两个函数有两个交点问题. 求出函数的极值, 并且得到函数的单调性, 再分类讨论即可求出 2个交点时的的范围.

【详解】（1）已知，则 , 令 , 得,

当 时, 为减函数;

当 时, 为增函数;

所以的极小值为, 无极大值;

（2）,

函数 有两个零点, 等价于曲线 与直线 有两个交点.

,

令 得 . 当 时,在 单调递减,

当 时, 在 单调递增,

时, 取得极小值 ,

又 时, 单调递增，且时，；

时单调递减，且时，，；

要使函数有两个零点，

即曲线 与直线 有两个交点.，

则只需.的取值范围为：.

【点睛】本题考查函数的极值定义, 以及函数的零点问题转化成函数的交点问题. 属于中等题.

19．已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于、两点，与线段交于点（异于、）.

(1)当且时，求直线的方程；

(2)当时，求四边形面积的最大值；

(3)记直线、、、的斜率依次为、、、. 当且线段的中点在直线上时，计算的值，并证明：.

【答案】(1)

(2)

(3)，证明见解析

【分析】（1）设，根据求解；

（2）直线的方程是，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得 ，再由直线与线段PQ相交，得到b的范围，然后由，得求解；

（3）设，联立方程，利用韦达定理求得，由AB的中点坐标是 ，再根据，结合韦达定理解得，再计算求解即可.

【详解】（1）解：设，

则，

因为，

所以，解得，

所以直线的方程是，即；

（2）解：直线的方程为，与椭圆方程联立得，

设，

则，

则，

因为，则，所以，且，

因为线与线段PQ相交，

所以，解得，

所以四边形的面积是，

则当时，，

所以以四边形的面积的最大值是；

（3）解：联立，得，

设，则，

线段AB的中点坐标是，由题意得，

即，因为，

所以，即，

即，

解得（舍去）或，

当时，，

，

因为，

因为，

由基本不等式得，

所以.

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用问题，考查了分析问题解决问题的能力，计算量较大，属于难题.