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初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课文内容课件ppt
展开角的平分线的判定 三角形的角平分线
角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图,由 于点 D , 于点E,PD= PE , 可以得到什么结论 ?
到一个角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上.
判定方法:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.书写格式:如图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=∠BOC).
例1 如图,BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于 点E,BF和CE相交于点D. 求证:AD平分∠BAC.
导引:要证AD平分∠BAC,已知 条件中有两个垂直,即有 点到角的两边的距离,再证这两个距离相等即 可证明结论,证这两条垂线段相等,可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成.
证明:∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E, ∴∠DEB=∠DFC=90°. 在△BDE和△CDF中, ∠BDE=∠CDF ∠DEB=∠DFC BE=CF ∴△BDE≌△CDF(AAS), ∴DE=DF. 又∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E, ∴AD平分∠BAC.
证明角平分线的“两种方法”(1)定义法:应用角平分线的定义.(2)定理法:应用“到角两边距离相等的点在角的平分线 上”来判定 . 判定角平分线时,需要满足两个条件: “垂直”和“相等”.
1 解决课时导入提出的问题.2 在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB 两边距离相等的点应是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q
如图,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距 离相等,则点P是( ) A.线段CD的中点 B.CD与过点O作CD的 垂线的交点 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对
4 如图,在△ABC中,分别与∠ABC,∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正 确的是( ) A.AF平分BC B.AF平分∠BAC C.AF⊥BC D.以上结论都正确
(中考•永州)如图,在四边形ABCD中,AB=CD, BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB= S△PCD,则满足此条件的点P( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
如图,△ABC的角平分线BM, CN相交于点P.求证:点P到三边AB,BC, CA的距离相等.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂 直于 AB,BC, CA,垂足分别 为D, E,F. ∵ BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴ PD=PE. 同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
探究思考: 想一想,点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形得三条角平分线有什么关系?
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等,这个交点叫作三角形的内心.
1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.以上均不对
2 如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40, 50,60,其三条角平分线交于点O,则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= ______________.
3 如图,△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证:点P到 三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.
证明:如图,过点P分别作PF,PG,PH垂直于直线 AC,AB,BC,垂足分别为F,G,H. 因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线,点 P在BD上, 所以PG=PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等). 同理PF=PH, 所以PG=PH=PF,即点P到三边AB,BC,CA 所在直线的距离相等.
角的平分线的性质与判定定理的关系:(1)都与距离有关,即垂直的条件都应具备.(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离 相等. (3)性质反映只要是角的平分线上的点,到角两边的距离就 一定相等;判定定理反映只要是到角两边距离相等的点, 都应在角的平分线上.
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