提升套餐练02 【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

提升套餐练02

一、多选题1．若随机变量，，其中，下列等式成立有(    )

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．

【详解】

随机变量服从标准正态分布，

正态曲线关于对称，

，，根据曲线的对称性可得：

A.，所以该命题正确；

B.，所以错误；

C.，所以该命题正确；

D.或，所以该命题错误．

故选：．

【点睛】

本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．设，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.

【详解】

A.当时，成立，故A正确；

B.当时，，等号成立的条件是，当时，，等号成立的条件是，故B不正确；

C.当时，，所以，故C正确；

D.，所以，等号成立的条件是当且仅当，即，故D正确.

故答案为：ACD

【点睛】

本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型.

3．已知函数，中正确结论有（    ）

A．在上是减函数； B．在上的最小值为；

C．在上至少有两个零点； D．在上是增函数；

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据和的单调性判断A，B选项，根据函数图像判断C.

【详解】

由题得，函数和在上都是减函数，可知在上是减函数，则A正确；同理可得在上是减函数，则在上没有最小值，B不正确；若在上至少有两个零点，则在定义域上至少有两个实根，即，分别作出和在上的函数图像如图，又，由图可知，两函数图像在上有2个交点，故C正确，由A知，D不正确.综上，正确结论是AC.

故选：AC

【点睛】

本题考查函数单调性，极值以及利用数形结合的方法确定函数零点个数.

4．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（    ）

A．若，则满足条件的点有且只有一个

B．若，则点的轨迹是一段圆弧

C．若∥平面，则长的最小值为2

D．若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

若，由于与重合时，此时点唯一；，则，即点的轨迹是一段圆弧；当为中点时，DP有最小值为，可判断C；平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，可得D.

【详解】

如图：

∵正四棱柱的底面边长为2，

∴，又侧棱，

∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确；

∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确；

连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误；

由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】

本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

二、解答题

5．设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积，满足.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】

(1)根据条件形式选择，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出；

(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分别用角的三角函数值表示出，

即可得到，再利用三角恒等变换，化简为，即可求出最大值．

【详解】

(1)∵，即，

∴变形得：，

整理得：，

又，∴；

(2)∵，∴，

由正弦定理知，，

∴

，当且仅当时取最大值．

故的最大值为.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题

6．已知为数列的前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）令可求得的值，再令，由得出，两式相减可得出数列为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得.

【详解】

（1）当时，，所以；

当时，由，可得，

上述两个等式相减得，，

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，；

（2）由（1）可知，

故，①

.②

①②，得，

化简得．

【点睛】

本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.

7．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.

(1)求证:四棱锥为阳马;

(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

【分析】

(1)按照题目定义，只要证明面即可，而由，即可证出面；

(2)先根据基本不等式求出当时，鳖膈体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角的余弦值．

【详解】

(1)∵底面，面

∴

又，

∴面，

又四边形为矩形

∴四棱锥为阳马．

(2)∵，，∴

又∵底面，

∴

当且仅当时，取最大值

∵，底面

∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系

，，

，，

设面的一个法向量

由得

同理得

∴

二面角的余弦值为．

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．

8．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):

（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;

（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;

（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.

【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）建议甲乘坐高铁从市到市.见解析

【解析】

【分析】

（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；

（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；

（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．

【详解】

（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，

由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，

所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．

（2）由题意，的所有可能取值为：

因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人

为老年人概率是，

所以，   

，

，

所以随机变量的分布列为：

故．

（3）答案不唯一，言之有理即可．

如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：

由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：

乘坐飞机的人满意度均值为：

因为，

所以建议甲乘坐高铁从市到市．

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．

9．已知椭圆经过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；

（2）设点、、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式，并代入韦达定理，消去，可得出点的横坐标，进而可得出结论.

【详解】

（1）由题意得，解得，.

所以椭圆的方程是；

（2）设直线的方程为，、、，

由，得.

，则有，，

由，得，由，可得，

，

，

综上，点在定直线上.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

10．设函数，是函数的导数.

（1）证明：在区间上没有零点；

（2）证明：在上，.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用不等式的基本性质可证得对任意的恒成立，进而可得出结论；

（2）由以及，只需证对任意的恒成立，通过构造函数，利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合单调性可证明出结论成立.

【详解】

（1），，

当时，，

因此，函数在区间上没有零点；

（2），

由，所以恒成立，故只需证明即可．

设，

，

故函数在区间上单调递增，所以．

所以当时，，即.

【点睛】

本题考查利用导数证明函数不等式以及研究函数的零点问题，利用导数分析函数的单调性是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.