提升套餐练07 【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

提升套餐练07

一、【多选题提升练】

1．是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（    ）

A．这10天中日均值的众数为33

B．这10天中日均值的中位数是32

C．这10天中日均值的中位数大于平均数

D．这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差

【答案】ABD

【解析】由折线图得，这10天中日均值的众数为33，中位数为，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.

故选：ABD

2．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，

由为圆上的点与定点的斜率的值，

设过点的直线为，即，

圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，

所以，即的最大值为，最小值为。

故选：.

3．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若为R上的增函数，则

C．若，则

D．函数为R上奇函数

【答案】BCD

【解析】对于选项A，，所以选项A错误；对于选项B，因为，所以，，所以，所以函数的图象是轴对称图形，所以选项B正确；对于选项C，易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的最大值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得最大值为，所以选项C正确；对于选项D，由，得，所以函数的最小值为，所以选项D正确．故选BCD．

4．如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是(    )

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】AD

【解析】求的最小值，即求底边上的高，易知，所以边上的高为，连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，易知，

所以.

故选：AD.

二、【热点解答题提升练】

5．如图，在直角中，，，，点在线段上.

（1）若，求的长；

（2）点是线段上一点，，且，求的值.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）在中，已知，，，由正弦定理，

得，解得.

（2）因为，所以，解得.

在中，由余弦定理得，

，

即，

，

故.

6．等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；

（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）见解析，或；（2）存在，.

【解析】（1）由题意可知：有两种组合满足条件：

①，，，此时等差数列，，，

所以其通项公式为.

②，，，此时等差数列，，，

所以其通项公式为.

（2）若选择①，.

则.

若，，成等比数列，则，

即，整理，得，即，

此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.

若选则②，，

则，

若，，成等比数列，则，

即，整理得，因为为正整数，所以.

故存在正整数，使，，成等比数列.

7．已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．

（1）证明： ；

（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，

因为且平面，所以平面，

因为平面，所以．

因为平面， 平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因为，且为的中点，

所以，所以平面，所以与平面所成的角为，

所以，所以，因为，所以．

分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则

，

所以．

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记二面角的大小为，则．

所以二面角的余弦值为 ．

8．已知椭圆的离心率为，其右顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点且斜率为的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一动点，直线，的斜率分别为，，试问为定值吗？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】（1）因为椭圆右顶点为，所以，又，，，所以椭圆的标准方程为.

（2）为定值且.

理由：直线的方程为，，，，联立椭圆及直线方程，，消去得，，，，

，，①，

又点在椭圆上，即，，代入①得，

.

9．为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者，统计了他们的午休睡眠时间，得到如图所示频率分布直方图.

（1）求这1000名被调查者的午休平均睡眠时间；(同一组中数据用该组区间中点作代表)

（2）由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间服从正态分布，其中，分别取被调查者的平均午休睡眠时间和方差，那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟(含43.91)的人数估计有多少？

（3）如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况，现从全市所有该年龄段人中随机抽取2人(午休睡眠时间不高于43.91分钟)和3人(午休睡眠时间不低于73.09分钟)进行访谈后，再从抽取的这5人中推荐3人作为代表进行总结性发言，设推荐出的代表者午休睡眠时间均不高于43.91分钟的人数为，求的分布列和数学期望.

附：①，.②，则；；.

【答案】（1）.（2）(人).（3）分布列答案见解析，数学期望为

【解析】（1）由题意知，第一组至第六组的中间值分别为35，45，55，65，75，85；

对应的概率值为0.1，0.2，0.3，0.15，0.15，0.1；

.

所以，这1000名被调查者的午休平均睡眠时间.

（2）因为服从正态分布，，

所以，

所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟(含43.91)的人数估计有(人).

（3）的可能值为0，1，2，

，，

，

故的分布列为

所以，.

10．知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析.（2）.

【解析】（1），

①当时，令，

时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以有极小值，无极大值；

②当时，令或，

(ⅰ)时，时，，单调递减；时，，单调递增；

时，，单调递减；

所以有极小值，

有极大值；

(ⅱ)时，时，，单调递减；

时，，单调递增；

时，，单调避减；

所以有极小值，有极大值；

(ⅲ)当时，，在上单调递减，无极值.

（2）若函数在上恰有两个零点，

即函数与函数的图像恰有两个交点，由（1）知，

①当时，

只须满足，所以；

②当时，

(ⅰ)时，结合（1）知，时，单调递减，，

只须满足或，

解得或(舍)或；

(ⅱ)时，结合（1）知只须满足或，

解得(舍)或或(舍)；

综上，的取值范围为.