提升套餐练08 【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

提升套餐练8

一、【多选题提升练】

1．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

B．支出最高值与支出最低值的比是

C．第三季度平均收入为5000元

D．利润最高的月份是3月份和10月份

【解析】对于A选项，4至5月份的收入的变化率为，11至12月份的变化率为，因而两个变化率相同，所以A项正确.对于B选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B项错误.对于C选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为百元，故C选项正确.对于D选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D项正确.综上可知，正确的为ACD，故选：ACD.

2．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（    ）

A．曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2

C．曲线围成区域的面积大于

D．方程表示的曲线在第一象限和第三象限

【解析】把，代入曲线，可知等号两边成立，所以曲线在第一象限过点，

由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点，

对于A选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把，和代入曲线的方程验证可知，等号不成立，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，

曲线只经过整点，即A错误；

 对于B选项，因为，

 所以，所以，所以，即B正确；

 对于C选项，以为圆点，2为半径的圆的面积为，显然曲线围成的区域的面积小于圆的面积，即C错误；

 对于D选项，因为，所以与同号，仅限与第一和三象限，即D正确.故选:BD.

3．已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（    ）

A．f（x）的图象关于直线对称

B．f（x）的周期为

C．（π，0）是f（x）的一个对称中心

D．f（x）在区间上单调递增

【解析】因为函数f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx||sin2x|，

 画出函数图象，如图所示；

 由图可知，f（x）的对称轴是x，k∈Z；

 所以x是f（x）图象的一条对称轴， A正确；f（x）的最小正周期是，所以B正确；

 f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；由图可知，f（x）|sin2x|在区间上是单调减函数，D错误.故选：AB.

4．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为(    )

A．函数是偶函数

B．,,恒成立

C．任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立

不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形

【解析】对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；

 对于B，取，则，，故选项B错误；

 对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；

 对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

  ①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

 ②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

 ③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

 ④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．

 综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．故选：．

二、【热点解答题提升练】

5. （10分）(开放题) 已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.

（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

【解析】（1）由①得，，

所以，

由②得，，

解得或（舍），所以，

因为，且，所以，所以，矛盾.

所以不能同时满足①，②.

故满足①，③，④或②，③，④；

（2）若满足①，③，④，

因为，所以，即.

解得.

所以的面积.

若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，

所以，所以的面积.

6. （12分）已知数列的前项和为，，，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）已知曲线若为椭圆，求的值；

（3）若，求数列的前项和．

【解析】（1）对任意的，，则且，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；

（2）由（1）可得，.

当时，，

也适合上式，所以，.

由于曲线是椭圆，则，即，

，解得或；

（3），

，①

，②

①②得，

因此，.

7．（12分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .

（1）证明:平面平面;

（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.

【解析】（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.

在中，分别为的中点，所以，且.

于是在中， ，

所以为直角三角形，且.

因为，,所以.

因为，，，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，,

,,.

设平面的一个法向量为,

则即，取,得.

设平面的法向量,

则即，取,得.

所以，

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

8. （12分）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，，

则有，，又，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）当轴时，位于轴上，且，

由可得，此时；

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，

由，得.

，，从而

已知，可得.

.

设到直线的距离为，则，

.

将代入化简得.

令，

则.

当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.

综上：的面积最大，最大值为.

9. （12分） 某中学有位学生申请、、三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

（1）求恰有人申请大学的概率；

（2）求被申请大学的个数的概率分布列与数学期望．

【解析】（1）所有可能的方式有种，恰有人申请大学的申请方式有种，

从而恰有人申请大学的概率为；

（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，

则，，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

.

10. （12分）已知函数，．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极小值；

（3）求函数的零点个数．

【解析】（1）因为，所以．

所以，．

所以曲线在点处的切线为；

（2）因为，令，得或．

列表如下：

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，

所以，当时，函数有极小值；

（3）当时，，且．

由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．