提升套餐练05 【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

提升套餐练05

一、【多选题提升练】

1．下列说法中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量服从正态分布，，则．

B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．

D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．

【答案】BC

【解析】因为随机变量服从正态分布，，

所以，即A错；

，，从而，即B正确；

过， ，即C正确；

因为样本数据，，…，的方差为2，所以数据，，…，的方差为，即D错误；

故选：BC

2．下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）

A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得

B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

【解析】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；

对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

3．已知数列满足

给出下列四个命题，其中的真命题是（    ）

A．数列单调递增； B．数列 单调递增；

C．数从某项以后单调递增； D．数列从某项以后单调递增.

【答案】BCD

【解析】因为，所以，

当时, ,所以，所以A错误；

，，

所以是等比数列，，所以B正确；

，故，C正确；

因为，所以，

根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.

故选：.

4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）

A．当时，

B．函数有3个零点

C．的解集为

D．，都有

【答案】BCD

【解析】（1）当时，，则由题意得，

∵ 函数是奇函数，

∴ ，且时，，A错；

∴ ，

（2）当时，由得，

当时，由得，

∴ 函数有3个零点，B对；

（3）当时，由得，

当时，由得，

∴ 的解集为，C对；

（4）当时，由得，

由得，由得，

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上有最小值，且，

又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，

∴当时，函数的值域为，

由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，

∴ 对，都有，D对；

故选：BCD．

二、【热点解答题提升练】

5．如图所示，在中，点在边上，且，，.

（1）若，求的值；

（2）若边上的中线，求的值.

【答案】（1） 4     （2）

【解析】(1)由，.

又

由正弦定理有,所以.

所以.

(2)由,所以为钝角.

又由（1）有，所以

又为边上的中线，延长到，使得,连接,如图.

则四边形为平行四边形,所以

则在中,

所以

即，即.

解得：或（舍去）

所以

6．已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前n项和满足，并且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】∵对任意，有①

∴当时，有，解得或2.

当时，有②

①②并整理得.

而数列的各项均为正数，∴.

当时，，此时成立；

当时，，此时，不成立，舍去.

∴.

（2）.

7．如图，在多面体中，，，，四边形是矩形，平面平面，.

（1）证明：平面；

（2）若二面角的正弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析.    (2) 或.

【解析】(1)取的中点,连接.

由，，.

则为正方形.所以.

又平面平面，且平面平面.

平面,所以平面.

又平面.则.

又四边形是矩形，则,且.

∴平面.

(2)由题目条件和（1）可知两两垂直.

故以点为原点，以分别为 轴，建立空间直角坐标系.如图.

设，则.

所以，,,,.

则,,.

设平面的一个法向量为.

所以，即

取

设平面的一个法向量为.

所以，即

取

二面角的正弦值为，则余弦值为.

即 ，解得：或

所以或.

8．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.

（1）求这300名员工日行步数（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；

（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数的人数；

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额（单位：元）的分布列和数学期望.

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

【答案】(1)  12     (2)  47      (3)   分布列见解析，

【解析】（1）    由题意有

（千步）

（2）由，由（1）得

所以

所以300名员工中日行步数的人数：.

(3)由频率分布直方图可知：

每人获得奖金额为0元的概率为：.

每人获得奖金额为100元的概率为：

每人获得奖金额为200元的概率为：

的取值为0，100，200,300,400.

所以的分布列为：

（元）

9．如图，已知抛物线的焦点为，圆与交于，两点，且，，，四点共线.

（1）求抛物线的方程；

（2）设动点在直线上，存在一个定点，动直线经过点与交于，两点，直线，，的斜率分别记为，，，且为定值，求该定值和定点的坐标.

【答案】（1）     （2） ，的定值为0.

【解析】(1)设，，，，，四点共线.

由条件圆心为的中点，,.

所以直线过焦点，则.

解得：. 抛物线.

 (2) 设，，直线.

则，得.

.

.

当时，为定值0.

故一个定点，使得为定值

10．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，是的两个零点，求证：．

【答案】（1）f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明见解析

【解析】（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），且，

①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（2）∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，

只需证明．

一方面∵a＞2e，∴，

∴，∴，

且f（x）在单调递增，故；

另一方面，令，（x＞0），

则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；

故，故g（x）≥0即时x∈（0，＋∞）恒成立，

令，

则，于是，

而，

故，且f（x）在单调递减，故；

综合上述，，即原不等式成立