提升套餐练06【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

提升套餐练06

一、【多选题提升练】

1．一组数据，，，…，的平均值为7，方差为4，记，，，…，的平均值为a，方差为b，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】设，

数据，，，…，的平均值为7，方差为4，

即，

由离散型随机变量均值公式可得所以,

因而，，，…，的平均值为

；

由离散型随机变量的方差公式可得所以,

因而，，，…，的方差为

，

故选：BD.

2．已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是(    )

A．且

B．存在相异实数，使

C．（其中实数满足）

D．已知梯形．其中

【答案】AB

【解析】对于A，向量是两个非零向量，且，

，此时能使共线，故A正确；

对于B，存在相异实数，使，要使非零向量是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；

对于C，（其中实数满足）如果则不能使共线，故C不正确；

对于D，已知梯形中， ，，如果是梯形的上下底，则正确，否则错误；

故选：AB

3．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】令函数，因为，

，

为奇函数，

当时，，

在上单调递减，

在上单调递减．

存在，

得，，即，

；，

为函数的一个零点；

当时，，

函数在时单调递减，

由选项知，取，

又，

要使在时有一个零点，

只需使，

解得，

的取值范围为，

故选：．

4．在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（    ）

A．平面与的交点是的中点

B．平面与的交点是的三点分点

C．平面与的交点是的三等分点

D．平面将正方体分成两部分的体积比为1∶1

【答案】BC

【解析】如图，取的中点，延长，，并交于点，

连接并延长，设，，

连接并延长交于点.连接，，

则平面四边形就是平面与正方体的截面，如图所示.

，

为的中位线，为中点，连，

，

三点共线，取中点，连，

则，

，

为中点，

分别是正方形的中心，

所以点是线段靠近点的三等分点，

点是线段靠近点的三等分点，

点是线段靠近点的三等分点.

做出线段的另一个三等分点，

做出线段靠近的三等分点，

连接，，，，，

所以

从而平面将正方体分成两部分体积比为2∶1.

故选:BC.

二、【热点解答题提升练】

5．已知函数，其中．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）=，

令解得，k∈Z，

函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．

（2）∵f（A）=2，∴，即，

又∵0＜A＜π，∴， 

∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①

b=2c，②，

由①②得，

∴．

6．已知在等比数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列前项的和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设等比数列的公比为

又因为，所以

解得（舍）或

所以，即

（2）据（1）求解知，，

所以

所以

7．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，.

求证：平面平面以；

求二面角的大小.

【答案】证明见解析；.

【解析】，，为的中点，

四边形为平行四边形，.

,，即.

又平面平面，且平面平面，

平面.

平面，

平面平面.

，为的中点，

.

平面平面，且平面平面，

平面.

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则平面的一个法向量为，

，，，，

设，则，，

，

，

，

在平面中，，，

设平面的法向量为，

则，即，

平面的一个法向量为，

，

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为.

8．某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.

从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；

试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.

①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；

②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？

注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.

【答案】；①详见解析；②应该批发一大箱.

【解析】根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为.

设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.

所以.

①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况.

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元.

随机变量的分布列为

所以（元）

若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况.

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元.

随机变量的分布列为

所以（元）.

②根据①中的计算结果，，

所以早餐店应该批发一大箱.

9．己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.

求椭圆的标准方程；

直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.

【答案】;.

【解析】连接，由可得，

，，

椭圆的标准方程；

由得，，

因为直线与椭圆相切于点，

所以，即，

解得，，

即点的坐标为，

因为点在第二象限，所以，，

所以，

所以点的坐标为，

设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，

设直线的方程为，

则

，

当且仅当，即时，有最大值，

所以，即面积的取值范围为.

10．已知函数u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．

（1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间；

（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1•x2的最大值．

【答案】（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）

【解析】（1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x），

令h′（x）＝0，解得x＝e，

∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，

∴函数h（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）

（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，

∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，

∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，

∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个不等正根，

∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，

两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），

两式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，

∴

∴ln（x1x2）＝ln•，

设t，∵1e，∴1＜t≤e，

设g（t）＝（）lnt，∴g′（t），

令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），

再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，

∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，

∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，

∴g（t）在（1，e]单调递增，∴g（t）max＝g（e），

∴ln（x1x2），∴x1x2

故x1•x2的最大值为．