初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程教学设计

5　二次函数与一元二次方程

第1课时　二次函数与一元二次方程的关系

教学目标

一、基本目标

1．掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．

2．理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系．

3．能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题．

二、重难点目标

【教学重点】

把握二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．

【教学难点】

理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系在实际问题中的应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P51～P52的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．

与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．

2．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？

(1)方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1；

(2)方程x2－6x＋9＝0的根是x1＝x2＝3；

(3)方程x2－x＋1＝0的根是无实数根．

3．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】求二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标．

【互动探索】(引发学生思考)求二次函数与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可．

【解答】令y＝－(x－2)2＋1＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，根据图象可得方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3 ，x2＝1.

2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c的取值范围．

解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，

∴方程x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，

即b2－4ac＝4－4c＜0，

解得c＞1.

3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，

∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过点(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1，

∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知二次函数y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常数．

(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；

(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点，与y轴交于点C，求四边形ABCD的面积．

【互动探索】要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断．求四边形ABCD的面积，需要确定四边形的底和高．

【解答】(1)证明：构造方程x2－(a－1)x＋a－2＝0.

∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，

∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有实数根，

∴不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点．

(2)由题可知，当a＝4时，y＝x2－3x＋2.

∵y＝x2－3x＋2＝x－2－，

∴A，－.

当y＝0，即x2－3x＋2＝0时，

解得x1＝1，x2＝2.

∴B(1，0)、D(2，0)．

当x＝0时，y＝2，

∴C(0，2)，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：

2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根

教学目标

一、基本目标

理解和掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的基本思路和方法．

二、重难点目标

【教学重点】

能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

【教学难点】

用图象法求解一元二次方程的近似根．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P53～P54的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．用图象法估计一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)根的近似值的一般步骤：

(1)将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

(2)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；

(3)根据抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标确定方程的根的大致范围；

(4)列表格，在第(3)步中确定的两个数之间取值，进行估算，通常只精确到十分位即可；

(5)确定近似值时，取y的绝对值最小时，对应x的值为根．

2．教材P54【做一做】的答案：

(1)根据图象，利用计算器估算：

因此，方程x2＋2x－10＝3的近似根为x1＝－4.7，x2＝2.7.

(2)在图2－18上画出直线y＝3，二次函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3的交点的横坐标即为方程x2＋2x－10＝3的根．

3．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：

那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(　C　)

A．1  B．1.1 

C．1.2  D．1.3

4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a＞0)的部分图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是－1＜x2＜0.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例题】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．

【互动探索】(引发学生思考)根据图象法估计一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)根的近似值的一般步骤解决问题．

【解答】如图是函数y＝x2＋2x－10的图象，由图象可知方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间．

(1)先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：

因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．

(2)另一个根可以类似地求出：

因此，x＝2.3是方程的另一个近似根．

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：

则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x满足条件(　C　)

A．1.2＜x＜1.3  B．1.3＜x＜1.4

C．1.4＜x＜1.5  D．1.5＜x＜1.6

2．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a≠0)的一个解x的取值范围是6.2＜x＜6.3.

3.如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能是x1＝0.8，x2＝3.2.(精确到0.1)

4．由下表的对应值知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的一个根的十分位上的数字是1.

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：

(1)画出二次函数的图象；

(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；

(3)列表，在(2)中的两数之间取值，进行估计．

在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值正负交换的区间，也就是对x取一系列值，看y对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必有一个近似根．

练习设计

请完成本课时对应练习！