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人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第十一章 立体几何初步》单元测试3（含解析）
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人教B版（2019）必修第四册《第十一章 立体几何初步》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在120°的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A、B两点，那么这两个切点的球面上的最短距离为( )
A. π B. π3 C. 2π D. 3π
2.（5分）下列几何体中棱柱有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
3.（5分）已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()
A. 若a//α，b//β，α//β，则a//b
B. 若a⊥α，a//b，b⊥β，则α//β
C. 若a⊥α，α⊥β，b//β，则a⊥b
D. 若a//α，b//β，a⊥b，则α⊥β
4.（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为( )
A. π12 B. π3 C. 8π27 D. 2π9
5.（5分）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的 ( )
A. B.
C. D.
6.（5分）设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )
A. c⊥α，若c⊥β，则α//β
B. b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
C. b⊂β，若b⊥α则β⊥α
D. b⊂α，c⊄α，若c//α，则b//c
7.（5分）若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A. 16π3 B. 19π3 C. 19π12 D. 4π3
8.（5分）已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是( )
A. 若m//n，m⊥α，则n⊥α B. 若m//α，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥β，则α//β D. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是( )
A. B.
C. D.
10.（5分）已知直线l与平面α相交于点P，则( )
A. α内不存在直线与l平行 B. α内有无数条直线与l垂直
C. α内所有直线与l是异面直线 D. 至少存在一个过l且与α垂直的平面
11.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是( )
A. MN//平面A1BD； B. 平面MNB截长方体所得截面的面积为62
C. 直线BN与B1M所成角为60°； D. 三棱锥N-A1DM的体积为4
12.（5分）将边长为2，有一内角为60∘的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体A-BCD，点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是( )
A. EF//AB； B. EF与直线AC、BD都垂直；
C. 当四面体ABCD的体积最大时，AC=6； D. AC垂直于平面BDE.
13.（5分）在三棱锥P-ABC中，AB=AC=BC=33，PA=PB=PC=5，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则以下结论正确的是()
A. 平面PDE⊥平面ABC B. 平面PAF⊥平面ABC
C. AB//平面PFE D. 三棱锥P-ABC的外接球表面积为2π
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在三棱锥P-ABC中，PA=2，PB=3，PC=2，且PA，PB，PC两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是 ______ ．
15.（5分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去ΔAOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的体积为______．
16.（5分）已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将ΔADM沿DM折起，得到四棱锥A1-DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：
①BN//平面A1DM，且BN的长度为定值5；
②三棱锥N-DMC的最大体积为223；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C.
其中正确命题的序号为______.(写出所有正确结论的序号)
17.（5分）已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为S，则该圆锥的底面面积是______．
18.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，A1C1与侧面ADD1A1所成的角为60°，B1C与底面ABCD所成的角为45°，则该长方体外接球的表面积为 ______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若三棱锥F-AEC的体积为324，求直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
20.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90∘，AB⊥AC，AB=AC=2，点E在AD上，且AE=2ED，点F是BC上靠近B的三等分点
(1)求证：平面PEF⊥平面PAC；
(2)若侧面PCD的面积是ΔACD面积的2倍，求VE-PFC.
21.（12分）
21-1.如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=6．
(Ⅰ)求证：PC⊥AD；
(Ⅱ)求三棱锥M-PAB的体积．
22.（12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面BCC1B1为菱形，G为其两对角线的交点，BC1=23，A1C=22，D，E分别为A1C1，BB1的中点，顶点B1在底面ABC的射影O为底面中心.
(1)求证：DE//平面ABC1，且B1C⊥平面ABC1；
(2)求三棱锥B1-ABC1的体积.
23.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC//平面GEFH．
(Ⅰ)证明：GH//EF；
(Ⅱ)若EB=2，求四边形GEFH的面积．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
该题考查球面距离及相关计算，解答该题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，该题考查了空间想像能力．
画出图形，圆O是球的一个大圆，∠AMB是二面角的平面角，AM、BM是圆O的切线，欲求两切点间的球面距离即求圆O中劣弧AB⏜的长，将立体几何问题转化为平面几何问题解决．
解：画出图形，如图，在四边形OAMB中，AM、BM是球的大圆的切线，
∴AM⊥OA，BM⊥OB，
∵∠AMB=120°，∴∠AOB=60°
∴两切点间的球面距离是AB = π 3 × OA = π⏜．
故选：A．
2.【答案】D;
【解析】解：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱柱，
由棱柱的定义得到给出的5个几何体中①③是棱柱，
∴结出的5个几何体中棱柱有2个．
故选：D．
利用棱柱的定义直接求解．
该题考查棱柱的判断，考查棱柱的定义等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：逐一考查所给的命题：
A.若a//α，b//β，α//β，则a与b平行，相交或异面，选项A错误；
B.若a⊥α，a//b，b⊥β，则α//β，选项B正确；
C.若a⊥α，α⊥β，b//β，则a//b，选项C错误；
D.若a//α，b//β，a⊥b，则α与β平行或相交，且相交的二面角不一定是直角，选项D错误；
故选：B.
利用空间位置关系判定所给的说法是否正确即可．
此题主要考查空间中的位置关系，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】
该题考查柱、锥、台体体积的求法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
由题意画出图形，设切割出的圆柱的底面半径为r(0
解：如图，
设切割出的圆柱的底面半径为r(0
∴圆柱的体积V=π×r2×(2-2r)=π(-2r3+2r2)(0
当r∈(0,23)时，f'(r)>0，当r∈23,1时，f'(r)<0，
∴f(r)在(0,23)上为增函数，在(23,1)上为减函数，
则当r=23时，f(r)有极大值，也就是最大值为f(23)=827．
∴切割出的圆柱最大体积为8π27．
故选：C．
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法.
在解题时要注意平行的特征不会改变即可.
解：直观图中，上下两边平行且不相等，有一边与x'轴平行，故可判定为梯形，
两腰与y'轴不平行，故不是直角梯形，
故选A.
6.【答案】C;
【解析】解：对于A正确，c⊥α，α//β，则c⊥β；
B项的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若a⊥b，则b⊥c，利用垂直性质定理知命题正确；
对于C不正确，当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；
对于D正确，由线面平行的判定定理判断得；
故选：C．
A：由面面平行的性质定理可得：若c⊥α，α//β，则c⊥β；B：垂直性质定理可得；C：当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；D：由线面平行的判定定理判断得；
解决此类问题的关键是熟练掌握线线、线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理．
7.【答案】B;
【解析】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，
则底面外接圆半径r=233，球心到底面的球心距d=12
所以球半径R2=(233)2+(12)2=1912
所以该球的表面积S=4πR2=19π3，
故选B．
根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出球的表面积即可．
该题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．
8.【答案】B;
【解析】解：若m//n，m⊥α，由线面垂直的第二判定定理，我们可得n⊥α，故A正确；
若m//α，α∩β=n，m与n可能平行也可能异面，故B错误；
若m⊥α，m⊥β，则根据垂直于同一直线的两个平面平行，则α//β，故C正确；
若m⊥α，m⊂β，则根据线面垂直的判定定理，则α⊥β，故D正确．
故选：B．
该题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，由线面垂直的判定方法，我们易得A答案正确；由面面平行的判定方法，我们易得C答案正确；由线面垂直的判定定理，我们易得D答案正确．分析后即可得到结论．
要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查线面平行的判定，属于基础题.
分别利用线面平行的判定定理，在平面MNP中能否寻找一条直线和AB平行即可．
解：在A中，连接AC，则AC//MN，由正方体性质得到平面MNP//平面ABC，∴AB//平面MNP，故A成立；
在B中，若下底面中心为O，则NO//AB，NO∩平面MNP=N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；
在C中，过M作ME//AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与平面MNP不平行，故C不成立；
在D中，连接CD，则AB//CD，NP//CD，则AB//PN，∴AB//平面MNP，故D成立.
故选AD.
10.【答案】AB;
【解析】解：直线l与平面α相交于点P，
对于A，由直线与平面相交的性质，得α内不存在直线与l平行，故A正确；
对于B，由直线与平面相交的性质，得α内有无数条直线与l垂直，故B正确；
对于C，α内直线与l是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，当直线l与平面α不垂直时，不存在过l且与α垂直的平面，故D错误．
故选：AB.
利用空间中直线与平面的位置关系直接求解．
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中直线与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查命题的真假判断与应用，涉及线面平行的判定、异面直线所成的角、三棱锥的体积、平面的性质，是中档题．
应用线面平行的判定、等腰梯形的面积公式、异面直线所成的角的求法、三棱锥的体积等逐一核对四个选项得答案．
解：A.由图显然MN//D1C，而D1C//A1B，所以MN//A1B，MN⊄面A1BD，A1B⊂面A1BD，所以MN//面A1BD；A正确；
B.由A知平面MNB截长方体所得截面为A1BNM，是个等腰梯形，MN=22，A1M=BN=22，A1B=42，
梯形的高为222-22=6，梯形的面积为1222+42×6=63，故B错误；
C.如图，
取CD中点E，连接BE，NE，可得BE//B1M，∠EBN为直线BN与B1M所成角，由题意可得ΔBEN为等边三角形，则∠EBN=60°，故C正确；
D.SΔDMN=4×4-12×4×2-12×2×2-12×4×2=6，VN-A1DM=VA1-DMN=13×6×2=4，故D正确.
故选ACD.
12.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查线面平行、线线垂直的证明，棱锥体积求解，三角形面积求解，属于中档题.
由线面平行、垂直的判定方法逐个判定，由此能求出结果．
解：EF过平面ABC内一点和平面外一点，与平面ABC内的AB没有公共点，是异面直线，所以A错误；
CF⊥BD，AF⊥BD，所以BD⊥平面ACF，AC⊂平面ACF，则EF⊥AC，CF=AF，E为AC的中点，所以EF⊥AC，B正确；
四面体的体积V=VB-ACF+VD-ACF=13×BD×SΔ，体积最大时，ΔACF面积最大，此时CF⊥AF，AC=3+3=6，C正确；
BD⊥平面ACF，得BD⊥AC，又EF⊥AC，EF，BD⊂BDE，EF∩AC=E，所以AC⊥平面BED，D正确，
故选BCD.
13.【答案】BC;
【解析】解：如图所示，
对于A，设AF与DE的交点为M，则AF和DE垂直，
若平面PDE⊥平面ABC，那么根据面面垂直的性质定理，必有AF⊥平面PDE，此时须有AM⊥PM成立，
又因为M是AF的中点，此时须有PA=PF成立，上式显然不成立，所以A不正确；
对于B，由于AC=AB，PC=PB，因此AF⊥BC且PF⊥BC，AF∩PF=F，
又AF，PF⊂平面PAF，故BC⊥平面PAF，
而BC⊂平面ABC，所以平面PAF⊥平面ABC，所以B正确；
对于C，由于EF//AB，EF⊂平面PEF，AB⊄平面PEF，因此AB//平面PFE，所以C正确；
对于D，作PN⊥平面ABC，垂足为N，则N为正三角形ABC的重心，所以AN=3，PN=4，
设三棱锥P-ABC的外接球球心为O，则O在PN上，连接AO，
设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则在△AON中，R2=(4-R)2+32，解得R=258，
因此其外接球表面积为625π16，所以D不正确．
故选：BC.
利用逆推方式要证明面面垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意不存在AM⊥PM即可判断A选项；根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断B选项；根据线面平行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断C选项；要求三棱锥P-ABC外接球的表面积，首先找出外接球的球心，再利用球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系，求出球的半径即可求解外接球的表面积进而可以判断D选项．
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
14.【答案】9π2;
【解析】解：在三棱锥P-ABC中，PA=2，PB=3，PC=2，且PA，PB，PC两两垂直，
三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度就是外接球的直径，
三棱锥P-ABC外接球的半径为12(2)2+(3)2+22=32，
所以其外接球的体积为43π(32)3=9π2．
故答案为：9π2．
三棱锥扩展为长方体，然后求解外接球的半径，求解体积即可．
此题主要考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
15.【答案】23;
【解析】解：折叠后的四面体如图所示：
其中OA，OC，OD两两垂直，
且OA=OC=OD=2，AC=CD=AD=2，
故该四面体的体积：
V=13SCOD.OA=13×12×2×2×2=23．
故答案为：23．
折叠后的四面体中，OA，OC，OD两两垂直，且OA=OC=OD=2，AC=CD=AD=2，由此能求出该四面体的体积．
该题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16.【答案】①②;
【解析】解：分别延长DM，CB交于H，连接A1H，
由M为中点，BM=12CD，可得B为CH的中点，
可得BN为ΔA1CH的中位线，可得BN//A1H，
BN⊄平面A1DM，A1H⊂平面A1DM，可得BN//平面A1DM，
且BN=12A1H，
在ΔA1DH中，A1M=2，MH=22，∠A1MH=135°，
则A1H=4+8-2×2×22×(-22)=25，
即有BN=5，故①正确；
当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，且为2，
此时N到平面DMBC的距离最大，且为22，
ΔDMC的面积为12×2×4=4，可得三棱锥N-DMC的最大体积为13×4×22=223，故②正确；
若DM⊥A1C，又DM=CM=22，CD=4，可得DM⊥MC，
则DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，这与DM为斜边矛盾，故③错误．
故答案为：①②．
分别延长DM，CB交于H，连接A1H，由中位线定理和线面平行的判定定理，以及余弦定理可判断①；
当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，结合棱锥的体积公式，计算可得所求最大值，可判断②；由线面垂直的判断和性质可判断③．
该题考查空间线线、线面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查棱锥的体积的计算，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
17.【答案】S2;
【解析】解：设圆锥的母线长为L，底面半径为R
若圆锥的侧面展开图为半圆
则2πR=πL，
即L=2R，
又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，
则圆锥的底面面积是S2．
故答案为：S2．
由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，我们易确定圆锥的母线长L与底面半径R之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．
该题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．
18.【答案】5π;
【解析】解：因为AA1=1，A1C1与侧面ADD1A1所成的角为60°，
B1C与底面ABCD所成的角为45°，
所以BC=1，D1A1=1，则C1D1=3，
长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径R的满足：
2R=12+12+(3)2=5，
所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅(52)2=5π.
故答案为：5π.
利用已知条件求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．
此题主要考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
19.【答案】解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形，
E，F分别是BC，CC1的中点．
∴AE⊥BC，AE⊥BB1，
∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1．
（2）解：S△AEC=12×AE×CE=12×(23)2-(3)2×3=332，
∵三棱锥F-AEC的体积为324，
∴VF-AEC=13×FC×S△AEC=13×FC×332=324，解得FC=62，
以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（0，0，6），C（0，23，0），B（3，3，0），A（0，0，0），
A1→C=（0，23，-6），A→A1=（0，0，6），AB→=（3，3，0），
设平面A1ABB1的法向量n→=（x，y，z），
则n→.AA1=6z=0n→.AB→=3x+3y=0，取x=1，得n→=（1，-3，0），
设直线A1C与平面A1ABB1所成的角为θ，
则sinθ=|A1→C.n→||A1→C|.|n→|=618.4=22，∴θ=45°，
∴直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°．;
【解析】
(1)推导出AE⊥BC，AE⊥BB1，AE⊥平面B1BCC1，由此能证明平面AEF⊥平面B1BCC1．
(2)求出FC=62，以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
此题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】
(1)证明：因为AB⊥AC，AB=AC，
所以∠ACB=45°，
由题可知底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，
所以∠ACD=45°，即AD=CD，
所以BC=2AC=2AD，
所以四边形ABFE是平行四边形，则AB//EF，
所以AC⊥EF，
因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥EF，
因为PA∩AC=A，
所以EF⊥平面PAC，
因为EF⊂平面PEF，
所以平面PEF⊥平面PAC；
(2)解：因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为∠ADC=90°，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以PD⊥CD，
所以12CD.PD=2×12AD.CD，
所以PD=2，
由勾股定理，PA=3，
因为AD//BC，
所以VE-PFC=VA-PBC=VP-ABC=13×3×12×2×2=33.;
【解析】
此题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查几何体体积的求法，是中档题，
(1)运用面面垂直的判定定理证明，首先证明线面垂直即EF⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理得到证明；
(2)运用等体积转换VE-PFC=VA-PBC=VP-ABC，求出体积.
21.【答案】证明：（Ⅰ）证法一：连结AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，PA=AC，PD=CD，
∵M为PC的中点，∴PC⊥AM，PC⊥DM，
又AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，
∴PC⊥平面AMD，
又AD⊂平面AMD，∴PC⊥AD．
证法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵VM-PAB=12VP-ABC，PO=OC=3，PC=6，
∴PO2+OC2=PC2，∴PO⊥OC，
又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又S△ABC=12×2×2×sin60°=3，
∴三棱锥M-PAB的体积VM-PAB=12×13×S△ABC×PO=12×13×3×3=12．;
【解析】
(Ⅰ)法一：连结AC，推导出PC⊥AM，PC⊥DM，从而PC⊥平面AMD，由此能证明PC⊥AD．
法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，推导出OC⊥AD，OP⊥AD，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．
(Ⅱ)由VM-PAB=12VP-ABC，能求出三棱锥M-PAB的体积．
该题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22.【答案】解：（1）证明：取AA1的中点H，连接EH，DH，
可得EH∥AB，EH⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
则EH∥平面ABC1，
同理DH∥AC1，DH∥平面ABC1，
DH∩EH=H，
所以平面ABC1∥平面EDH，
DE⊂平面DEH，所以DE∥平面ABC1，
菱形B1BCC1中，BC1⊥B1C，
因为B1在底面的射影O为底面的中心，
所以B1O⊥平面ABC，
因为O为中心，△ABC为等边三角形，
所以CO⊥AB，
所以B1C⊥AB，
所以B1C⊥平面ABC1；
（2）由（1）可得B1C⊥平面ABC1，
设B1C与BC1交于G，
又顶点B1在底面ABC的射影O为底面中心，
可得B1C=B1B=2，B1G=12B1C=1，
且AC⊥BB1，进而AC⊥AA1，AC1=A1C，
因为AB=2，BC1=23，AC1=22，
AB2+AC12=BC12，所以AB⊥AC1，
三棱锥B1-ABC1的体积V=13S_△ABC1•B1G=13×12×2×22×1=223．;
【解析】
(1)取AA1的中点H，连接EH，DH，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理和性质，可证明DE//平面ABC1；再由线面垂直的性质和判定，可证明B1C⊥平面ABC1；
(2)由线面垂直的性质和勾股定理，结合棱锥的体积公式，可得所求值．
此题主要考查线面平行与线面垂直的判定，以及棱锥的体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
23.【答案】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴EBAB=KBDB=14，
∴KB=14DB=12OB，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=12PO，即G为PB中点，且GH=12BC=4，
由已知可得OB=42，PO=PB2-OB2=68-32=6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S=12(GH+EF)×GK=12(4+8)×3=18．;
【解析】
(Ⅰ)证明GH//EF，只需证明EF//平面PBC，只需证明BC//EF，利用BC//平面GEFH即可；
(Ⅱ)求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．
该题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．
人教B版（2019）必修第四册《第十一章 立体几何初步》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在120°的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A、B两点，那么这两个切点的球面上的最短距离为( )
A. π B. π3 C. 2π D. 3π
2.（5分）下列几何体中棱柱有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
3.（5分）已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()
A. 若a//α，b//β，α//β，则a//b
B. 若a⊥α，a//b，b⊥β，则α//β
C. 若a⊥α，α⊥β，b//β，则a⊥b
D. 若a//α，b//β，a⊥b，则α⊥β
4.（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为( )
A. π12 B. π3 C. 8π27 D. 2π9
5.（5分）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的 ( )
A. B.
C. D.
6.（5分）设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )
A. c⊥α，若c⊥β，则α//β
B. b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
C. b⊂β，若b⊥α则β⊥α
D. b⊂α，c⊄α，若c//α，则b//c
7.（5分）若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A. 16π3 B. 19π3 C. 19π12 D. 4π3
8.（5分）已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是( )
A. 若m//n，m⊥α，则n⊥α B. 若m//α，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥β，则α//β D. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是( )
A. B.
C. D.
10.（5分）已知直线l与平面α相交于点P，则( )
A. α内不存在直线与l平行 B. α内有无数条直线与l垂直
C. α内所有直线与l是异面直线 D. 至少存在一个过l且与α垂直的平面
11.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是( )
A. MN//平面A1BD； B. 平面MNB截长方体所得截面的面积为62
C. 直线BN与B1M所成角为60°； D. 三棱锥N-A1DM的体积为4
12.（5分）将边长为2，有一内角为60∘的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体A-BCD，点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是( )
A. EF//AB； B. EF与直线AC、BD都垂直；
C. 当四面体ABCD的体积最大时，AC=6； D. AC垂直于平面BDE.
13.（5分）在三棱锥P-ABC中，AB=AC=BC=33，PA=PB=PC=5，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则以下结论正确的是()
A. 平面PDE⊥平面ABC B. 平面PAF⊥平面ABC
C. AB//平面PFE D. 三棱锥P-ABC的外接球表面积为2π
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在三棱锥P-ABC中，PA=2，PB=3，PC=2，且PA，PB，PC两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是 ______ ．
15.（5分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去ΔAOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的体积为______．
16.（5分）已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将ΔADM沿DM折起，得到四棱锥A1-DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：
①BN//平面A1DM，且BN的长度为定值5；
②三棱锥N-DMC的最大体积为223；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C.
其中正确命题的序号为______.(写出所有正确结论的序号)
17.（5分）已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为S，则该圆锥的底面面积是______．
18.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，A1C1与侧面ADD1A1所成的角为60°，B1C与底面ABCD所成的角为45°，则该长方体外接球的表面积为 ______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若三棱锥F-AEC的体积为324，求直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
20.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90∘，AB⊥AC，AB=AC=2，点E在AD上，且AE=2ED，点F是BC上靠近B的三等分点
(1)求证：平面PEF⊥平面PAC；
(2)若侧面PCD的面积是ΔACD面积的2倍，求VE-PFC.
21.（12分）
21-1.如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=6．
(Ⅰ)求证：PC⊥AD；
(Ⅱ)求三棱锥M-PAB的体积．
22.（12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面BCC1B1为菱形，G为其两对角线的交点，BC1=23，A1C=22，D，E分别为A1C1，BB1的中点，顶点B1在底面ABC的射影O为底面中心.
(1)求证：DE//平面ABC1，且B1C⊥平面ABC1；
(2)求三棱锥B1-ABC1的体积.
23.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC//平面GEFH．
(Ⅰ)证明：GH//EF；
(Ⅱ)若EB=2，求四边形GEFH的面积．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
该题考查球面距离及相关计算，解答该题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，该题考查了空间想像能力．
画出图形，圆O是球的一个大圆，∠AMB是二面角的平面角，AM、BM是圆O的切线，欲求两切点间的球面距离即求圆O中劣弧AB⏜的长，将立体几何问题转化为平面几何问题解决．
解：画出图形，如图，在四边形OAMB中，AM、BM是球的大圆的切线，
∴AM⊥OA，BM⊥OB，
∵∠AMB=120°，∴∠AOB=60°
∴两切点间的球面距离是AB = π 3 × OA = π⏜．
故选：A．
2.【答案】D;
【解析】解：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱柱，
由棱柱的定义得到给出的5个几何体中①③是棱柱，
∴结出的5个几何体中棱柱有2个．
故选：D．
利用棱柱的定义直接求解．
该题考查棱柱的判断，考查棱柱的定义等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：逐一考查所给的命题：
A.若a//α，b//β，α//β，则a与b平行，相交或异面，选项A错误；
B.若a⊥α，a//b，b⊥β，则α//β，选项B正确；
C.若a⊥α，α⊥β，b//β，则a//b，选项C错误；
D.若a//α，b//β，a⊥b，则α与β平行或相交，且相交的二面角不一定是直角，选项D错误；
故选：B.
利用空间位置关系判定所给的说法是否正确即可．
此题主要考查空间中的位置关系，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】
该题考查柱、锥、台体体积的求法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
由题意画出图形，设切割出的圆柱的底面半径为r(0
解：如图，
设切割出的圆柱的底面半径为r(0
∴圆柱的体积V=π×r2×(2-2r)=π(-2r3+2r2)(0
当r∈(0,23)时，f'(r)>0，当r∈23,1时，f'(r)<0，
∴f(r)在(0,23)上为增函数，在(23,1)上为减函数，
则当r=23时，f(r)有极大值，也就是最大值为f(23)=827．
∴切割出的圆柱最大体积为8π27．
故选：C．
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法.
在解题时要注意平行的特征不会改变即可.
解：直观图中，上下两边平行且不相等，有一边与x'轴平行，故可判定为梯形，
两腰与y'轴不平行，故不是直角梯形，
故选A.
6.【答案】C;
【解析】解：对于A正确，c⊥α，α//β，则c⊥β；
B项的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若a⊥b，则b⊥c，利用垂直性质定理知命题正确；
对于C不正确，当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；
对于D正确，由线面平行的判定定理判断得；
故选：C．
A：由面面平行的性质定理可得：若c⊥α，α//β，则c⊥β；B：垂直性质定理可得；C：当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；D：由线面平行的判定定理判断得；
解决此类问题的关键是熟练掌握线线、线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理．
7.【答案】B;
【解析】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，
则底面外接圆半径r=233，球心到底面的球心距d=12
所以球半径R2=(233)2+(12)2=1912
所以该球的表面积S=4πR2=19π3，
故选B．
根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出球的表面积即可．
该题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．
8.【答案】B;
【解析】解：若m//n，m⊥α，由线面垂直的第二判定定理，我们可得n⊥α，故A正确；
若m//α，α∩β=n，m与n可能平行也可能异面，故B错误；
若m⊥α，m⊥β，则根据垂直于同一直线的两个平面平行，则α//β，故C正确；
若m⊥α，m⊂β，则根据线面垂直的判定定理，则α⊥β，故D正确．
故选：B．
该题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，由线面垂直的判定方法，我们易得A答案正确；由面面平行的判定方法，我们易得C答案正确；由线面垂直的判定定理，我们易得D答案正确．分析后即可得到结论．
要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查线面平行的判定，属于基础题.
分别利用线面平行的判定定理，在平面MNP中能否寻找一条直线和AB平行即可．
解：在A中，连接AC，则AC//MN，由正方体性质得到平面MNP//平面ABC，∴AB//平面MNP，故A成立；
在B中，若下底面中心为O，则NO//AB，NO∩平面MNP=N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；
在C中，过M作ME//AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与平面MNP不平行，故C不成立；
在D中，连接CD，则AB//CD，NP//CD，则AB//PN，∴AB//平面MNP，故D成立.
故选AD.
10.【答案】AB;
【解析】解：直线l与平面α相交于点P，
对于A，由直线与平面相交的性质，得α内不存在直线与l平行，故A正确；
对于B，由直线与平面相交的性质，得α内有无数条直线与l垂直，故B正确；
对于C，α内直线与l是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，当直线l与平面α不垂直时，不存在过l且与α垂直的平面，故D错误．
故选：AB.
利用空间中直线与平面的位置关系直接求解．
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中直线与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查命题的真假判断与应用，涉及线面平行的判定、异面直线所成的角、三棱锥的体积、平面的性质，是中档题．
应用线面平行的判定、等腰梯形的面积公式、异面直线所成的角的求法、三棱锥的体积等逐一核对四个选项得答案．
解：A.由图显然MN//D1C，而D1C//A1B，所以MN//A1B，MN⊄面A1BD，A1B⊂面A1BD，所以MN//面A1BD；A正确；
B.由A知平面MNB截长方体所得截面为A1BNM，是个等腰梯形，MN=22，A1M=BN=22，A1B=42，
梯形的高为222-22=6，梯形的面积为1222+42×6=63，故B错误；
C.如图，
取CD中点E，连接BE，NE，可得BE//B1M，∠EBN为直线BN与B1M所成角，由题意可得ΔBEN为等边三角形，则∠EBN=60°，故C正确；
D.SΔDMN=4×4-12×4×2-12×2×2-12×4×2=6，VN-A1DM=VA1-DMN=13×6×2=4，故D正确.
故选ACD.
12.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查线面平行、线线垂直的证明，棱锥体积求解，三角形面积求解，属于中档题.
由线面平行、垂直的判定方法逐个判定，由此能求出结果．
解：EF过平面ABC内一点和平面外一点，与平面ABC内的AB没有公共点，是异面直线，所以A错误；
CF⊥BD，AF⊥BD，所以BD⊥平面ACF，AC⊂平面ACF，则EF⊥AC，CF=AF，E为AC的中点，所以EF⊥AC，B正确；
四面体的体积V=VB-ACF+VD-ACF=13×BD×SΔ，体积最大时，ΔACF面积最大，此时CF⊥AF，AC=3+3=6，C正确；
BD⊥平面ACF，得BD⊥AC，又EF⊥AC，EF，BD⊂BDE，EF∩AC=E，所以AC⊥平面BED，D正确，
故选BCD.
13.【答案】BC;
【解析】解：如图所示，
对于A，设AF与DE的交点为M，则AF和DE垂直，
若平面PDE⊥平面ABC，那么根据面面垂直的性质定理，必有AF⊥平面PDE，此时须有AM⊥PM成立，
又因为M是AF的中点，此时须有PA=PF成立，上式显然不成立，所以A不正确；
对于B，由于AC=AB，PC=PB，因此AF⊥BC且PF⊥BC，AF∩PF=F，
又AF，PF⊂平面PAF，故BC⊥平面PAF，
而BC⊂平面ABC，所以平面PAF⊥平面ABC，所以B正确；
对于C，由于EF//AB，EF⊂平面PEF，AB⊄平面PEF，因此AB//平面PFE，所以C正确；
对于D，作PN⊥平面ABC，垂足为N，则N为正三角形ABC的重心，所以AN=3，PN=4，
设三棱锥P-ABC的外接球球心为O，则O在PN上，连接AO，
设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则在△AON中，R2=(4-R)2+32，解得R=258，
因此其外接球表面积为625π16，所以D不正确．
故选：BC.
利用逆推方式要证明面面垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意不存在AM⊥PM即可判断A选项；根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断B选项；根据线面平行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断C选项；要求三棱锥P-ABC外接球的表面积，首先找出外接球的球心，再利用球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系，求出球的半径即可求解外接球的表面积进而可以判断D选项．
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
14.【答案】9π2;
【解析】解：在三棱锥P-ABC中，PA=2，PB=3，PC=2，且PA，PB，PC两两垂直，
三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度就是外接球的直径，
三棱锥P-ABC外接球的半径为12(2)2+(3)2+22=32，
所以其外接球的体积为43π(32)3=9π2．
故答案为：9π2．
三棱锥扩展为长方体，然后求解外接球的半径，求解体积即可．
此题主要考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
15.【答案】23;
【解析】解：折叠后的四面体如图所示：
其中OA，OC，OD两两垂直，
且OA=OC=OD=2，AC=CD=AD=2，
故该四面体的体积：
V=13SCOD.OA=13×12×2×2×2=23．
故答案为：23．
折叠后的四面体中，OA，OC，OD两两垂直，且OA=OC=OD=2，AC=CD=AD=2，由此能求出该四面体的体积．
该题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16.【答案】①②;
【解析】解：分别延长DM，CB交于H，连接A1H，
由M为中点，BM=12CD，可得B为CH的中点，
可得BN为ΔA1CH的中位线，可得BN//A1H，
BN⊄平面A1DM，A1H⊂平面A1DM，可得BN//平面A1DM，
且BN=12A1H，
在ΔA1DH中，A1M=2，MH=22，∠A1MH=135°，
则A1H=4+8-2×2×22×(-22)=25，
即有BN=5，故①正确；
当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，且为2，
此时N到平面DMBC的距离最大，且为22，
ΔDMC的面积为12×2×4=4，可得三棱锥N-DMC的最大体积为13×4×22=223，故②正确；
若DM⊥A1C，又DM=CM=22，CD=4，可得DM⊥MC，
则DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，这与DM为斜边矛盾，故③错误．
故答案为：①②．
分别延长DM，CB交于H，连接A1H，由中位线定理和线面平行的判定定理，以及余弦定理可判断①；
当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，结合棱锥的体积公式，计算可得所求最大值，可判断②；由线面垂直的判断和性质可判断③．
该题考查空间线线、线面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查棱锥的体积的计算，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
17.【答案】S2;
【解析】解：设圆锥的母线长为L，底面半径为R
若圆锥的侧面展开图为半圆
则2πR=πL，
即L=2R，
又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，
则圆锥的底面面积是S2．
故答案为：S2．
由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，我们易确定圆锥的母线长L与底面半径R之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．
该题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．
18.【答案】5π;
【解析】解：因为AA1=1，A1C1与侧面ADD1A1所成的角为60°，
B1C与底面ABCD所成的角为45°，
所以BC=1，D1A1=1，则C1D1=3，
长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径R的满足：
2R=12+12+(3)2=5，
所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅(52)2=5π.
故答案为：5π.
利用已知条件求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．
此题主要考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
19.【答案】解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形，
E，F分别是BC，CC1的中点．
∴AE⊥BC，AE⊥BB1，
∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1．
（2）解：S△AEC=12×AE×CE=12×(23)2-(3)2×3=332，
∵三棱锥F-AEC的体积为324，
∴VF-AEC=13×FC×S△AEC=13×FC×332=324，解得FC=62，
以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（0，0，6），C（0，23，0），B（3，3，0），A（0，0，0），
A1→C=（0，23，-6），A→A1=（0，0，6），AB→=（3，3，0），
设平面A1ABB1的法向量n→=（x，y，z），
则n→.AA1=6z=0n→.AB→=3x+3y=0，取x=1，得n→=（1，-3，0），
设直线A1C与平面A1ABB1所成的角为θ，
则sinθ=|A1→C.n→||A1→C|.|n→|=618.4=22，∴θ=45°，
∴直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°．;
【解析】
(1)推导出AE⊥BC，AE⊥BB1，AE⊥平面B1BCC1，由此能证明平面AEF⊥平面B1BCC1．
(2)求出FC=62，以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
此题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】
(1)证明：因为AB⊥AC，AB=AC，
所以∠ACB=45°，
由题可知底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，
所以∠ACD=45°，即AD=CD，
所以BC=2AC=2AD，
所以四边形ABFE是平行四边形，则AB//EF，
所以AC⊥EF，
因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥EF，
因为PA∩AC=A，
所以EF⊥平面PAC，
因为EF⊂平面PEF，
所以平面PEF⊥平面PAC；
(2)解：因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为∠ADC=90°，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以PD⊥CD，
所以12CD.PD=2×12AD.CD，
所以PD=2，
由勾股定理，PA=3，
因为AD//BC，
所以VE-PFC=VA-PBC=VP-ABC=13×3×12×2×2=33.;
【解析】
此题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查几何体体积的求法，是中档题，
(1)运用面面垂直的判定定理证明，首先证明线面垂直即EF⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理得到证明；
(2)运用等体积转换VE-PFC=VA-PBC=VP-ABC，求出体积.
21.【答案】证明：（Ⅰ）证法一：连结AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，PA=AC，PD=CD，
∵M为PC的中点，∴PC⊥AM，PC⊥DM，
又AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，
∴PC⊥平面AMD，
又AD⊂平面AMD，∴PC⊥AD．
证法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵VM-PAB=12VP-ABC，PO=OC=3，PC=6，
∴PO2+OC2=PC2，∴PO⊥OC，
又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又S△ABC=12×2×2×sin60°=3，
∴三棱锥M-PAB的体积VM-PAB=12×13×S△ABC×PO=12×13×3×3=12．;
【解析】
(Ⅰ)法一：连结AC，推导出PC⊥AM，PC⊥DM，从而PC⊥平面AMD，由此能证明PC⊥AD．
法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，推导出OC⊥AD，OP⊥AD，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．
(Ⅱ)由VM-PAB=12VP-ABC，能求出三棱锥M-PAB的体积．
该题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22.【答案】解：（1）证明：取AA1的中点H，连接EH，DH，
可得EH∥AB，EH⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
则EH∥平面ABC1，
同理DH∥AC1，DH∥平面ABC1，
DH∩EH=H，
所以平面ABC1∥平面EDH，
DE⊂平面DEH，所以DE∥平面ABC1，
菱形B1BCC1中，BC1⊥B1C，
因为B1在底面的射影O为底面的中心，
所以B1O⊥平面ABC，
因为O为中心，△ABC为等边三角形，
所以CO⊥AB，
所以B1C⊥AB，
所以B1C⊥平面ABC1；
（2）由（1）可得B1C⊥平面ABC1，
设B1C与BC1交于G，
又顶点B1在底面ABC的射影O为底面中心，
可得B1C=B1B=2，B1G=12B1C=1，
且AC⊥BB1，进而AC⊥AA1，AC1=A1C，
因为AB=2，BC1=23，AC1=22，
AB2+AC12=BC12，所以AB⊥AC1，
三棱锥B1-ABC1的体积V=13S_△ABC1•B1G=13×12×2×22×1=223．;
【解析】
(1)取AA1的中点H，连接EH，DH，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理和性质，可证明DE//平面ABC1；再由线面垂直的性质和判定，可证明B1C⊥平面ABC1；
(2)由线面垂直的性质和勾股定理，结合棱锥的体积公式，可得所求值．
此题主要考查线面平行与线面垂直的判定，以及棱锥的体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
23.【答案】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴EBAB=KBDB=14，
∴KB=14DB=12OB，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=12PO，即G为PB中点，且GH=12BC=4，
由已知可得OB=42，PO=PB2-OB2=68-32=6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S=12(GH+EF)×GK=12(4+8)×3=18．;
【解析】
(Ⅰ)证明GH//EF，只需证明EF//平面PBC，只需证明BC//EF，利用BC//平面GEFH即可；
(Ⅱ)求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．
该题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．
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