高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第1章 集合本章综合与测试当堂检测题

专题强化练1　与子集、真子集有关的创新问题

一、填空题

1.(2019陕西汉中城固一中月考,)定义集合运算:A⊗B={z|z=x+y,x∈A,y∈B},若A={0,1},B={2,3},则集合A⊗B的真子集的个数为　　　　. 

二、解答题

2.()已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},对于它的任一非空子集A,可以将A中的每一个元素k都乘(-1)k再求和,例如A={2,3,8},则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7,对于集合S的所有非空子集,求这些和的总和.

3.(2019江西南昌第十九中学高一月考,)若x∈A,则∈A,就称集合A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中,求所有具有伙伴关系的集合.

4.(2019广西钦州高一月考,)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”,规则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全是正奇数时,m※n=mn,求集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N*,b∈N*}的真子集的个数.

5.(2019江苏白塔高级中学月考,)设集合A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k2∉A,那么称k是A的一个“酷元”.给定集合S={x∈N|-6<x<6},设M⊆S,且集合M中的两个元素都是“酷元”,求所有这样的集合M.

6.(2019江苏宜兴高级中学月考,)设集合A⊆M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好子集”,它具有下述性质:对于任意2k∈A,都有2k-1∈A且2k+1∈A(k∈Z)(空集是好子集),集合M中有多少个只含有2个偶数的好子集?

答案全解全析

专题强化练1　与子集、真子集

有关的创新问题

一、填空题

1.答案　7

解析　由题意得A⊗B={3,2,4},含有3个元素,

∴集合A⊗B的真子集的个数为23-1=7.

二、解答题

2.解析　易得元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S的所有非空子集中均出现27次,则对S的所有非空子集中元素k乘(-1)k再求和,这些和的总和是27×[(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4×4+(-1)5×5+(-1)6×6+(-1)7×7+(-1)8×8]=27×(-1+2-3+4-5+6-7+8)=512.

3.解析　当具有伙伴关系的集合中只有1个元素时,满足题意的集合有{-1}、{1};

当具有伙伴关系的集合中只有2个元素时,满足题意的集合有{-1,1}、、;

当具有伙伴关系的集合中只有3个元素时,满足题意的集合有、、;

当具有伙伴关系的集合中只有4个元素时,满足题意的集合有、、;

当具有伙伴关系的集合中只有5个元素时,满足题意的集合有、;

当具有伙伴关系的集合中只有6个元素时,满足题意的集合有.

4.解析　若a,b都是正奇数,则由a※b=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对有(1,15),(3,13),…,(15,1),共8个;

若a,b不全为正奇数,则由a※b=16,可得ab=16,则符合条件的数对有(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),共5个,

故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是8+5=13,

所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N*,b∈N*}的真子集的个数是213-1=8 191.

5.解析　依题意可得,S={0,1,2,3,4,5}.若k是集合M的一个“酷元”,则k2与都不属于集合M.显然当k=0时,k2==0;当k=1时,k2==1,所以0,1都不是“酷元”.若k=2,则k2=4;若k=4,则=2.所以2和4不能同时在集合M中.

显然,3和5都是集合S中的“酷元”.

综上,若集合M中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类:

(1)只选3和5,即M={3,5};

(2)从3和5中任选1个,从2和4中任选1个,即M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}.

故满足条件的集合M为{3,5},{3,2},{3,4},{5,2},{5,4}.

6.解析　只含有2个偶数的好子集A,有两种不同的情形:

①两个偶数相邻,有4种可能:2,4;4,6;6,8;8,10.每种情形必有3个奇数(如2,4∈A,则1,3,5∈A),余下的3个奇数可能在集合A中,也可能不在集合A中,所以符合要求的好子集有4×23=32(个).

②两个偶数不相邻,有6种可能:2,6;2,8;2,10;4,8;4,10;6,10.

每种情形必有4个奇数(如2,6∈A,则1,3,5,7∈A),余下的2个奇数可能在集合A中,也可能不在集合A中,所以符合要求的好子集有6×22=24(个).

综上所述,集合M中有32+24=56个只含有2个偶数的好子集.