北师大版 (2019)必修 第二册6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积达标测试

6.6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积

1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A.a2 B.a2

C.a2 D.a2

【解析】因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形，所以斜高h'=，所以S侧面积=a××3=a2，S底面积=a×a×a2，所以S表面积=a2+a2=a2.

【答案】A

2.若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为45°，则这个圆台的侧面积是              (　　)

A.27π B.27π C.9π D.36π

【解析】设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，如图所示，2r2=2r1+6=4r1，所以r1=3，r2=6.

S圆台侧=π(r1+r2)l=π(6+3)×3=27π.

【答案】B

3.(多选)(2019山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　)

A.π B.(1+)π

C.2π D.2+π

【解析】若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l=，

这时表面积为π×1×l+π×12=(1+)π;

若绕斜边旋转一周时旋转体有两个倒立圆锥对底组合而成，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为1，所以表面积S=2π××1=π，综上所述该几何体的表面积为π.

【答案】AB

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A.1∶1

B.1∶

C.1∶

D.1∶2

【解析】设正方体棱长为a，

由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，

所以正三角形的边长为a，

即表面积为4=4××(a)2×=2a2.

正方体的表面积为6a2，

所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2=1∶.

【答案】C

5.已知正四棱台两底面边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，则它的侧面积为　　　　　 cm2. 

【解析】作

出正四棱台的一个侧面如图，设E，F分别为AD，BC的中点，过D作DG⊥BC于点G.

由题知AD=4 cm，BC=8 cm，CD=8 cm，得DE=2 cm，FC=4 cm，解得GC=2 cm，在Rt△DGC中，DG==2(cm)，

即斜高为2 cm，所以所求侧面积为

×(16+32)×2=48(cm2).

【答案】48

6.(2019浙江宁波余姚段考)一个圆台的母线长为12 cm，两底面积分别为4π cm2和25π cm2，则圆台的高为　　　　　;截得此圆台的圆锥的母线长为　　　　　. 

【解析】圆

台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示;

由已知可得上底半径O1A=2 cm，下底半径OB=5 cm;

又腰长为母线长是AB=12 cm，

所以高AM==3 cm;

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得，解得l=20(cm).

【答案】3 cm　20 cm

1.(2019黑龙江大庆统考)过某一圆锥的高的中点和一个三等分点(该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近)，分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为(　　)

A.2∶1∶3 B.2∶3∶6

C.4∶5∶27 D.4∶9∶36

【解析】设从顶点往下这三部分的侧面积分别为S1，S2，S3，圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意可得，

S1=π·，

S2=π，

S3=π，

所以三个部分的侧面积之比为S1∶S2∶S3==4∶5∶27.

【答案】C

2.正四棱柱的一条对角线长为9，表面积为144，适合这些条件的正四棱柱有　　　　　个. 

【解析】设底面边长为a，高为h，由题意得

这个方程组有两个解，所以适合条件的正四棱柱有2个.

【答案】2

3.(2019浙江杭州期末)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，棱AB，AD，AA'的中点分别为E，F，G，首先截去三棱锥A-EFG，类似的，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为　　　　　. 

【解析】如图，S正方形GEMH==2，S△EFG=×sin 60°=，

而余下的几何体的表面积等于6个正方形GEMN的面积加上8个三角形EFG的面积之和，

故所求几何体的表面积为2×6+×8=12+4.

【答案】12+4

4.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:

(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;

(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.

解(1)由题意可得，BE=EC=1，DE=AE=2×sin 60°=，根据正三棱柱的定义可得CC1⊥平面ABC.

又BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC，故在Rt△ECD中，CD=.

所以正三棱柱的侧棱长为2.

(2)S底面积=2S△ABC=2×2×=2，S侧面积=3=3×2×2=12.

所以S表面积=S侧面积+S底面积=12+2.