数学必修 第二册2 直观图随堂练习题

第六章　立体几何初步

§2　直观图

基础过关练

题组一　水平放置的平面图形的直观图画法

1.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.任意三角形

2.利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是(　　)

3.画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图.

4.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图,将其恢复成原图形.

题组二　平面图形的直观图的有关计算

5.已知△ABC的直观图如图所示,则原△ABC的面积为　　　　. 

6.在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中原四边形OABC为　　　　(填形状),面积为　　　　cm2. 

7.已知点O为坐标原点,点A在x轴上,等边三角形OAB的面积为,其斜二测画法的直观图为△O'A'B',求点B'到O'A'的距离.

8.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=3,B'C'∥x'轴,求原平面图形的面积.

题组三　空间几何体的直观图

9.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z'轴,则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为(　　)

A.90°,90° B.45°,90°

C.135°,90° D.45°或135°,90°

10.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)

A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm

B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm

C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm

D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm

11.画出一个三棱台,其上、下底面分别是边长为1、2的正三角形,高为2.

能力提升练

题组一　平面图形的直观图的有关计算

1.(2020四川广元高三模考,)已知△ABC是正三角形,且它的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　)

A.a2 B.a2

C.a2 D.a2

2.(2020山东济宁一中高一期中,)有一个长为5 cm,宽为4 cm的矩形,则其直观图的面积为　　　　cm2. 

3.(2020河南省实验中学高一下期末,)水平放置的正方形ABCO如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为　　　　. 

4.(2020山西省实验中学高一期末,)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,三角形AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.

题组二　直观图对应的平面图形的有关计算

5.(2020辽宁本溪高级中学高一下期末,)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB边平行于y轴,BC,AD边平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为2 cm2,则原平面图形A'B'C'D'的面积为(　　)

A.4 cm2 B.4 cm2

C.8 cm2 D.8 cm2

6.(2020山东济南历城二中高一下期末,)一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于(　　)

A.+ B.1+

C.1+ D.2+

7.(2020辽宁沈阳东北育才实验学校高一期中,)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,B'C'∥y'轴,则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)

A. B. C.5 D.

8.(2020广东深圳中学高一期中,)如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,点B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为　　　　. 

9.(2020江西南师附中高一下期末,)如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.

答案全解全析

第六章　立体几何初步

§2　直观图

1.C　根据斜二测画法作平面图形的直观图的规则,可得△ABC中有一角为钝角,所以△ABC为钝角三角形.故选C.

2.C　正方形的直观图是平行四边形,且邻边长不相等,故选C.

3.解析　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①②所示.

(2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C',使得D'C'=DC.连接B'C',如图②.

(3)所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.

4.解析　(1)画出平面直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A';

(2)在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在x轴上取OD=O'D',过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B'.

(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A'B'C'原来的图形,如图②所示.

5.答案　9

解析　由题意,易知在△ABC中,AC⊥AB,且AC=6,AB=3,∴S△ABC=×6×3=9.

6.答案　矩形;8

解析　由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).

7.解析　图①为等边三角形OAB在平面直角坐标系内的图形,取OA的中点C,连接BC,以C'点为原点画出△OAB的直观图如图②所示,过B'作B'D⊥x'轴,垂足为D.因为等边三角形OAB的面积为,所以等边三角形的边长为2,则O'A'=2,B'C'=,又∠A'C'B'=45°,所以B'D=,则点B'到O'A'的距离为.

8.解析　在直观图中,设B'C'与y'轴的交点为D',则易得O'D'=3,所以原平面图形为一边长为6,该边对应的高为6的平行四边形,所以其面积为6×6=36.

9.D　根据斜二测画法的规则,∠x'O'y'的度数应为45°或135°,∠x'O'z'指的是画立体图形时的x'轴与z'轴的夹角,所以度数为90°.故选D.

10.C　由比例尺可知,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,图形的尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.故选C.

11.解析　答案不唯一.示例:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画下底面.以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB=2,在y轴上取线段OC,使OC=.连接BC,CA,则△ABC为三棱台的下底面的直观图.

(3)画上底面.在z轴上取OO',使OO'=2,过点O'作O'x'∥Ox,O'y'∥Oy,建立平面直角坐标系x'O'y'.在x'O'y'中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A'B'C'.

(4)连线成图.连接AA',BB',CC',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC-A'B'C'即为要求画的三棱台的直观图(如图②所示).

能力提升练

1.D　因为S△ABC=a2,且=,所以S△A'B'C'=S△ABC=×a2=a2.故选D.

2.答案　5

解析　该矩形的面积S=5×4=20(cm2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积S'=S=5(cm2).

3.答案　

解析　用斜二测画法画出的直观图如图所示,作B'E⊥x'轴于点E,在Rt△B'EC'中,B'C'=2,∠B'C'E=45°,所以B'E=B'C'sin 45°=2×=.

4.解析　在梯形ABCD中,AB=2,OD=1,画出梯形ABCD的直观图,如图中梯形A'B'C'D'所示,过点D'作D'E'⊥A'B'于点E'.易得O'D'=OD=,所以梯形A'B'C'D'的高D'E'=,于是梯形A'B'C'D'的面积为×(1+2)×=,所以梯形ABCD水平放置的直观图的面积为.

5.C　依题意,可知∠BAD=45°,则原平面图形A'B'C'D'为直角梯形,上、下底边分别为B'C',A'D',且长度分别与BC,AD相等,高为A'B',且长度为梯形ABCD的高的2倍,所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.

6.D　将直观图还原成平面图形如图所示,则平面图形是上底长为1,下底长为1+,高为2的直角梯形,其面积为2+.故选D.

7.A　由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三角形,其中AC=3,BC=8,所以AB=,AB边上的中线的长度为.故选A.

8.答案　4

解析　设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边O'B'与原图形中边OB的长度相等,及S原图=2S直观图,得OB·h=2×·A'O'·O'B',则h=4.故△AOB的边OB上的高为4.

9.解析　如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A'=1 cm,在y轴上取OB=2O'B'=2 cm,在过点B的x轴的平行线上取BC=B'C'=1 cm.

依次连接O,A,B,C各点,即得到了原图形.由作法可知,四边形OABC为平行四边形,OC===3(cm),

∴平行四边形OABC的周长为(3+1)×2=8(cm),面积为1×2=2(cm2).