数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试达标测试

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知P(AB)=,P(A)=,那么P(B|A)=(　　)

A. B. C. D.

2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…,10,则P(3≤X≤4)=(　　)

A. B. C. D.

3.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次,设2枚硬币均正面向上的次数为X,则X的数学期望是(　　)

A.1 B.2 C. D.

4.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(1<X<3)=0.36,则P(X≥3)=(　　)

A.0.64 B.0.32 C.0.36 D.0.72

5.一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球,其中有1个红球,2个蓝球,3个黄球,4个绿球,现从中任取一球后(不放回),再取一球,则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.某学校要从10名候选人中选2名组成学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人被选到的机会相同,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)=(　　)

A. B. C. D.

7.随机变量X的分布如下表,当D(X)取到最大值时,a=(　　)

A. B. C. D.

8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数,若0<p<,则(　　)

A.E(X)= B.E(X)>

C.D(X)> D.D(X)<

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.已知随机变量X的分布列如下表:

若a,b,c成等差数列,则公差d可以是(　　)

A.- B.0 C. D.1

10.已知随机变量X服从正态分布N(100,100),则下列结论正确的是(　　)

(若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.997 3)

A.E(X)=100 B.D(X)=100

C.P(X≥90)=0.8413 5 D.P(X≤120)=0.998 7

11.有甲、乙两个盒子,甲盒子里有1个红球,乙盒子里有3个红球和3个黑球,现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6,n∈N*)个球放入甲盒子后,再从甲盒子里随机取一球,记取到红球的个数为Y,则随着n(1≤n≤6,n∈N*)的增加,下列说法正确的是(　　)

A.E(Y)增加 B.E(Y)减小

C.D(Y)增加 D.D(Y)减小

12.下列说法正确的是(　　)

A.设随机变量X服从二项分布B,则P(X=3)=

B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4

C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩,则在至少有1个景点未被选择的条件下,恰有2个景点未被选择的概率是

D.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.设随机变量X~N(3,σ2),若P(X>7)=0.16,则P(-1≤X≤7)=　　　　. 

14.一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球,其中红球有2个,白球有4个,每次取两个,取后放回,连续取三次,设随机变量X表示取出后都是白球的次数,则E(X)=　　　　. 

15.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目,每人限报其中的一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报‘走进社区’项目”,则P(A|B)的值为　　　　. 

16.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)=　　　　,随机变量X的数学期望E(X)=　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)某中学在教工活动中心举办了一场台球比赛,为了节约时间,比赛采取三局两胜制.现有甲、乙二人,已知每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.求:

(1)这场比赛甲获胜的概率;

(2)这场比赛在甲获得胜利的条件下,乙有一局获胜的概率.

18.(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒,其中只有A到过疫区.

(1)如果B、C、D受到A感染的概率均为,那么B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率是多少?

(2)若B肯定受A感染,对于C,因为难以判断他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同样也假设D受A、B和C感染的概率都是,在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量,求随机变量X的均值和方差.

19.(本小题满分12分)抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.

(1)求P(A),P(B),P(AB);

(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,求两颗骰子的点数之和大于8的概率.

20.(本小题满分12分)在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中,教委对本区A,B,C,D四所高中学校按各校人数分层随机抽样调查,将调查情况进行整理后制成下表:

(注:参与率是指一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)

假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.

(1)若该区共2 000名高中学生,估计A学校参与“创城”活动的人数;

(2)在随机抽查的100名高中学生中,从A,C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生,求恰有1人参与“创城”活动的概率;

(3)若将表中的参与率视为概率,从A学校高中学生中随机抽取3人,求这3人参与“创城”活动的人数X的分布列及数学期望.

21.(本小题满分12分)某景区有A,B两个出入口,在景区游客中随机选取了100人作为样本进行调查,调查结果显示从A出入口进入景区的有55人,从B出入口进入景区的有45人.

(1)从上述样本中随机选取2人,求两人恰好从不同出入口进入景区的概率;

(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,景区计划在今年国庆节当日投入1到3列往返两个出入口的通勤小火车,根据过去5年的数据资料显示,每年国庆节当日客流量X(单位:万人)的频数分布表如下:

以这5年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间的概率,且每年国庆节当日客流量相互独立.已知国庆节当日小火车的使用量(单位:列)受当日客流量X(单位:万人)的影响,其关系如下表:

若某列小火车在国庆节当日投入且被使用,则景区当日可获得利润3万元;若某列小火车在国庆节当日投入却未被使用,则景区当日亏损0.5万元.记Y(单位:万元)表示该景区在国庆节当日获得的总利润,则该景区在今年国庆节当日应投入多少列小火车才能使获得利润的期望最大?

22.(本小题满分12分)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了制订提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:

(1)根据频率分布直方图估计这50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);

(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布解决下列问题:

(i)在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制订的最低年收入标准,则最低年收入标准大约为多少千元?

(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中年收入大于12.14千元的人数最有可能是多少?

附:≈2.63,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.B　由条件概率公式得P(B|A)==×=,故选B.

2.A　∵随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…,10,

∴=+++…+=a·=a=1,解得a=,

∴P(3≤X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.故选A.

3.A　∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币,恰好出现2枚硬币均正面向上的概率为×=,

∴X~B,∴E(X)=4×=1.

故选A.

4.B　∵随机变量X~N(2,σ2),且P(1<X<3)=0.36,

∴P(X≥3)=(1-P(1<X<3))=0.32.

故选B.

5.A　设“第一次取出的是红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B.

则由题意知,P(A)=,

P(AB)==,

所以已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率P(B|A)===.

故选A.

6.D　解法一:由题意得随机变量X服从超几何分布,且N=10,M=4,n=2,则E(X)==2×=.

解法二:由题意知X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

所以X的分布列为

所以E(X)=0×+1×+2×=.

故选D.

7.C　易得a+b=1,E(X)=b=1-a,

所以D(X)=a(1-a)=a-a2,

显然当a=时,方差取得最大值.故选C.

8.D　随机变量X的可能取值为2,3,

P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,

P(X=3)=p(1-p)p+p(1-p)(1-p)=2p-2p2,

故X的分布列为

故E(X)=2×(2p2-2p+1)+3×(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2+,

因为0<p<,故2<E(X)<,而<,<,故A、B错误.

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2,

令t=2p-2p2=-2+,因为0<p<<,所以0<t<,此时D(X)=4×(1-t)+9t-(t+2)2=-t2+t∈,所以D(X)<必成立,故C错误,D正确.故选D.

二、多项选择题

9.AB　因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,

又a+b+c=1,所以b=,

则a=-d,c=+d,

根据分布列的性质得,0≤-d≤,0≤+d≤,所以-≤d≤.

故选AB.

10.ABC　∵随机变量X服从正态分布N(100,100),

∴正态曲线关于直线x=100对称,

根据题意可得,P(90≤X≤110)≈0.682 7,P(80≤X≤120)≈0.954 5,

∴P(X≥90)≈0.5+×0.682 7=0.841 35,故C正确;

P(X≤120)≈0.5+×0.954 5=0.977 25,故D错误.易知A,B都正确.故选ABC.

11.BC　由题意可知,从乙盒子里随机取出n个球,其中红球的个数X服从超几何分布,M=3,N=6,则E(X)=n=.

故从甲盒子里随机取一球,相当于从含有+1个红球的n+1个球中取一球,取到红球的个数为Y,

易知随机变量Y服从两点分布,

故P(Y=1)==+,

所以E(Y)=P(Y=1)=+,随着n的增加,E(Y)减小;

D(Y)=P(Y=1)×[1-P(Y=1)]=×,随着n的增加,D(Y)增加.

故选BC.

12.ABC　选项A,若随机变量X服从二项分布B,

则P(X=3)==,正确;

选项B,∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),

∴正态曲线的对称轴是直线x=2,

∵P(X<4)=0.9,

∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,

∴P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.4,正确;

选项C,设事件A为至少有1个景点未被选择,事件B为恰有2个景点未被选择,

则P(AB)==,P(A)=1-=,

∴P(B|A)==,正确;

选项D,E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故不正确.

故选ABC.

三、填空题

13.答案　0.68

解析　由正态分布的性质可知P(X<-1)=P(X>7)=0.16,

所以P(-1≤X≤7)=1-P(X<-1)-P(X>7)=0.68.

14.答案　

解析　从袋中随机取两个球,都是白球的概率为=,

由题意可知,随机变量X服从二项分布B,则E(X)=3×=.

15.答案　

解析　根据题意得P(B)==,

P(AB)==,

所以P(A|B)==.

16.答案　;

解析　易知X服从超几何分布,

所以P(X<2)=+=,

E(X)=0×+1×+2×=.

四、解答题

17.解析　(1)因为每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,

所以这场比赛甲胜的概率为×0.62+×0.4×0.62=0.648.(5分)

(2)设事件A为“甲获得比赛胜利”,事件B为“乙获胜一局”.

则由(1)知P(A)=0.648,

P(AB)=×0.4×0.62=0.288,(7分)

所以P(B|A)==,

所以在甲获得比赛胜利的条件下,乙有一局获胜的概率为.(10分)

18.解析　(1)概率P==.(3分)

(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3,

则P(X=1)=×=,

P(X=2)=×+×=,

P(X=3)=×=.(6分)

故X的分布列为

所以E(X)=1×+2×+3×=,(10分)

所以D(X)=×+×+×=.(12分)

19.解析　(1)P(A)==.(2分)

∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果,点数之和大于8的结果有10个,

∴P(B)==.(5分)

当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个,故P(AB)=.(8分)

(2)由(1)知P(B|A)===.(12分)

20.解析　(1)该区共2 000名高中学生,由分层随机抽样的概念可估计A学校参与“创城”活动的人数为2 000××=800.(3分)

(2)设事件A表示“抽取的A校高中学生参与‘创城’活动”,

事件C表示“抽取的C校高中学生参与‘创城’活动”,

则从A,C两学校抽查的高中学生中各随机抽出1名学生,恰有1人参与“创城”活动的概率P=P(A+C)=P(A)P()+P()P(C)=×+×=.(6分)

(3)由题意得X~B,

则P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,(8分)

所以X的分布列为

(10分)

E(X)=3×=.(12分)

21.解析　(1)记“两人恰好从不同出入口进入景区”为事件A,则P(A)==,

所以两人恰好从不同出入口进入景区的概率为. (3分)

(2)当投入1列小火车时,记利润为Y1,则E(Y1)=3.(4分)

当投入2列小火车时,记利润为Y2,

若1≤X<3,则Y2=3-0.5=2.5,此时P(Y2=2.5)=P(1≤X<3)=;

若X≥3,则Y2=3×2=6,此时P(Y2=6)=P(3≤X<5)+P(X≥5)=,(6分)

此时Y2的分布列为

所以E(Y2)=2.5×+6×=5.3.(8分)

当投入3列小火车时,记利润为Y3,

若1≤X<3,则Y3=3-0.5×2=2,此时P(Y3=2)=P(1≤X<3)=;

若3≤X<5,则Y3=3×2-0.5=5.5,此时P(Y3=5.5)=P(3≤X<5)=;

若X≥5,则Y3=3×3=9,此时P(Y3=9)=P(X≥5)=,(10分)

此时Y3的分布列为

所以E(Y3)=2×+5.5×+9×=6.2.

由于6.2>5.3>3,因此景区在今年国庆节当日应投入3列小火车才能使获得利润的期望最大.(12分)

22.解析　(1)=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40千元,故估计这50位农民的年平均收入为17.40千元.(3分)

(2)由题意知X~N(17.40,6.92).

(i)P(X>μ-σ)≈+≈0.841 4,

所以μ-σ≈17.40-2.63=14.77时,满足题意,

即最低年收入标准大约为14.77千元.(6分)

(ii)由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)≈0.5+≈0.977 3,

可知每位农民的年收入大于12.14千元的概率约为0.977 3,

记这1 000位农民中年收入大于12.14千元的人数为Y,

则Y~B(1 000,p),其中p=0.977 3,(8分)

于是恰好有k(k∈N*)位农民的年收入大于12.14千元的概率为P(Y=k)=pk(1-p,

从而由=>1,

得k<1 001p,而1 001p=978.277 3,

所以当0≤k≤978且k∈N*时,P(Y=k-1)<P(Y=k),

当979≤k≤1 000且k∈N*时,P(Y=k-1)>P(Y=k),

由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入大于12.14千元的人数最有可能是978.

(12分)