高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时练习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

1.C　[解析] 原式=sin(90°-65°)cos 20°+sin 65°cos(90°-20°)=cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=cos 45°=,故选C.

2.A　[解析]  由sin Asin B<cos Acos B,得cos Acos B-sin Asin B>0,即cos Acos(-B)+sin Asin(-B)>0,即cos[A-(-B)]>0,即cos(A+B)>0,则cos C<0,故△ABC一定为钝角三角形,故选A.

3.A　[解析] 由题意可得sin α=,cos α=,所以cos-α=coscos α+sinsin α=×+×=.

4.A　[解析] ∵α,β均为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=,∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.故选A.

5.A　[解析] 因为β∈,π,sin β=∈,1,所以β∈,π,则cos β=-=-.因为0<α<β,sin α=,所以α=,cos α=cos=.故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=,故选A.

6.A　[解析] 由sin α-sin β=,cos α-cos β=,得sin2α+sin2β-2 sin αsin β=,cos2α+cos2β-2cos αcos β=,以上两式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=,故cos(α-β)=.

7.C　[解析] 由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=,由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-,∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+-×=-1.∵α+β∈,2π,α-β∈,π,∴2β∈,,∴2β=π,解得β=.故选C.

8.ABC　[解析] 根据两角差的余弦公式知,A,B,C均正确,D错误.故选ABC.

9.　[解析] 原式=====.

10.　[解析] cos 350°sin 70°-sin 170°sin 20°=cos 10°cos 20°-sin 10°sin 20°=cos(-10°)cos 20°+sin(-10°)sin 20°=cos 30°=.

11.　[解析] 依题意,得cos α=,cos β=.因为α,β均为锐角,所以sin α=,sin β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.

12.-　[解析] 因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以sin β=sin α=,cos β=-cos α,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×2-1=-.

13.解:(1)∵α为锐角,cos α=,∴α=,

则sinα+=sin+=1.

(2)∵∴0<α+β<π,

又cos(α+β)=,∴sin(α+β)=,

则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=.

14.解:(1)因为α的终边过点P,,所以|OP|==5,

由三角函数的定义得cos α==,

所以cos(α+π)=-cos α=-.

(2)由题意知cos(α+β)=-,sin(α+β)=,

由(1)知sin α==,

所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-.

15.AC　[解析] 由两角差的余弦公式知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-和φ=满足题意,φ=-和φ=不满足题意,故选AC.

16.　[解析] 因为α∈0,,tan α=4,所以sin α=4cos α,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=,cos α=.因为α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.又0<β<,所以β=.

17.解:(1)∵0<β<,∴-<-<0,∵<α<π,∴<α-<π.

又cosα-=>0,∴<α-<,sinα-=,

∴tanα-=.

(2)∵<α<π,∴<<,∵-<-β<0,∴-<-β<,又sin-β=-,

∴-<-β<0,cos-β=,

∴cos=cosα---β=cosα-cos-β+sinα-sin-β=×+×-=.