【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1第三章 不等式 压轴题专练 试卷

第三章 不等式（压轴题专练）

题型一　基本不等式的实际应用

【例1】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).

(1)用x表示y；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.

由已知得xa＝360，得a＝.

∴y＝225x＋－360(x>0).

(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.

∴y＝225x＋－360≥10 440，

当且仅当225x＝即x＝24时，等号成立.

故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.

思维升华

利用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y.

(2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题.

(3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值.

(4)正确写出答案.

巩固训练

1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？

【解析】设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝20，

当且仅当＝，即x＝80(x＝－80舍去)时等号成立.

故每批生产产品80件时，可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.

2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.

【答案】5

【解析】设仓库与车站的距离为d，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立.

3.某人准备租一辆车从甲地出发去乙地，已知从出发点到目的地的距离为

100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间.假设目前油价为7.2 元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)

【解析】设总费用为y元.

由题意得y＝76.4×＋7.2××＝＋2x(40≤x≤100).

因为y＝＋2x≥2＝280，

当且仅当＝2x，即x＝70时取等号.

所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.

题型二　“三个二次”间对应关系的应用

【例2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，求2x2＋bx＋a<0的解集.

【解析】∵ax2＋bx＋2>0的解集为，

∴－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根.

由根与系数的关系得解得

∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，即x2－x－6<0，

∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3.

∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2<x<3}.

思维升华

三个“二次”之间的关系

(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.

(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：

特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.

巩固训练

1．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.

(1)求a，c的值；

(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.

【解析】(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，且a＜0，

由根与系数的关系得

解得a＝－6，c＝－1.

(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.

题型三　解含参数的一元二次不等式

【例3】　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).

【解析】原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.

(1)当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；

(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；

(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.

综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；

当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.

思维升华

解含参数的一元二次不等式的步骤

巩固训练

1．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).

【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.

②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，

解得x≥或x≤－1.

③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.

当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；

当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；

当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1.

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a>0时，不等式的解集为；

当－2<a<0时，不等式的解集为；

当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；

当a<－2时，不等式的解集为.

2．解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R).

【解析】当Δ＝4a2－12>0，即a>或a<－时，

方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根，

x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，

所以不等式的解集为{x|x≤a－，或x≥a＋}.

当Δ＝4a2－12<0，即－<a<时，

方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R.

当Δ＝4a2－12＝0，即a＝±时，

方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.

综上所述，当a>或a<－时，不等式的解集为{x|x≤a－，或x≥a＋}，当－≤a≤时，不等式的解集为R.

3．设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.

【解析】(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.

(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.

①当a<－时，2＞－，解不等式得－<x<2，即原不等式的解集为；

②当a＝－时，原不等式为－x2＋2x－2＞0，即(x－2)2＜0，此不等式无解，

即原不等式的解集为∅；

③当－<a<0时，2＜－，解不等式得2<x<－，即原不等式的解集为；

④当a>0时，2＞－解不等式得x<－或x>2，

即原不等式的解集为.

综上所述，当a＜－时，不等式的解集为；

当a＝－时，不等式的解集为∅；

当－＜a＜0时，不等式的解集为；

当a＞0时，不等式的解集为.

题型四　不等式在实际中的应用

【例4】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.

(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.

【解析】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%

＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10).

(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).

依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，

化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又因为0<x<10，所以0<x≤2.

即x的取值范围为{x|0<x≤2}.

思维升华

解不等式应用题的步骤

巩固训练

1．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【解析】(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1).

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，

必须有即解得0<x<，

所以投入成本增加的比例x的取值范围为.

题型五　不等式在R上恒成立问题

【例5】　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.

当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，

∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.

∴解得－1<k<0.

综上，实数k的取值范围是(－1，0].

巩固训练

1．若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，

∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，

即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，

∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).

题型六　不等式在给定闭区间上的恒成立问题

【例6】设函数y＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】(1)要使mx2－mx－1<0对x∈R恒成立，

若m＝0，显然－1<0，满足题意；

若m≠0，则⇒－4<m<0.

∴－4<m≤0，即m的取值范围是(－4，0].

(2)当x∈[1，3]时，y<－m＋5恒成立，即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.

∵x2－x＋1＝＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.

∵函数y1＝＝在[1，3]上的最小值为.

∴只需m<即可，

即m的取值范围是.

思维升华　

(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；

当a≠0时，

(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；

当a≠0时，

(3)y＝ax2＋bx＋c，若y>0在某区间上恒成立，常用分离参数将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.另外y>0在区间[α，β]上恒成立⇔[α，β]⊆A，其中A是y>0的解集，结合图象求解.

巩固训练

1．设函数y＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】(1)要使mx2－mx－1<0对x∈R恒成立，

若m＝0，显然－1<0，满足题意；

若m≠0，则⇒－4<m<0.∴－4<m≤0，即m的取值范围是(－4，0].

(2)当x∈[1，3]时，y<－m＋5恒成立，

即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.

∵x2－x＋1＝＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.

∵函数y1＝＝在[1，3]上的最小值为.

∴只需m<即可，即m的取值范围是.

2．若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，

原不等式可化为2x－6<0，解得x<3，不符合题意，应舍去.

当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对∀x∈R恒成立，

则有解得m<－.

综上所述，实数m的取值范围是.