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高中5.1 任意角和弧度制教学演示ppt课件
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这是一份高中5.1 任意角和弧度制教学演示ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，答案D等内容，欢迎下载使用。
1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算)
[激趣诱思]跳水是一项优美的水上运动,它是从高处用各种姿势跃入水中或是从跳水器械上起跳,在空中完成一定动作姿势,并以特定动作入水的运动.每组跳水动作都有自己的号码,以表示动作组别和翻腾转体的周数.如“305”表示第三组动作:反身翻腾两周半;“113”表示第一组动作向前飞身翻腾一周半.这里的“两周半”“一周半”分别是多少度?“向前”和“反身”又如何用角度来表达?
知识点一:任意角1.角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类
3.相等角与角的加减(1)相等角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.(2)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.(3)设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.名师点析 角的概念推广后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意义.
微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示 不一定.只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.微练习经过1个小时,时针转过的角度是 . 答案 -30°
知识点二:象限角与终边相同的角1.象限角在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
名师点析 对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三层含义:①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针旋转;k取负整数时,顺时针旋转;k=0时,没有旋转.(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.
微判断(1)钝角是第二象限角.( )(2)第二象限角是钝角.( )(3)第二象限角大于第一象限角.( )(4)终边不同的角一定不相等.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√微思考相等的角终边相同吗?反过来,终边相同的角相等吗?提示 相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.
微练习已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α= ,它是第 象限角. 答案 240° 三解析 因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同,且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.
例1(多选题)下列说法不正确的是( )A.三角形的内角不一定是第一、二象限角B.始边相同,终边相同的角不一定相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角答案 CD解析 A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确;B中始边相同,终边相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正确;C中钝角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正确;D中零角或负角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.
要点笔记 理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
变式训练1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )A.60°,720°B.-60°,-720°C.-30°,-360°D.-60°,720°(2)给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 (1)B (2)D解析 (1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 ×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.(2)由题可得-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°.所以这四个命题都是正确的.
角度1 终边相同的角的求解例2写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.分析根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1 080°范围内的角.
解 与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角.要点笔记 求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.
角度2 终边在某条直线上的角的集合例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
解 (1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.
反思感悟 终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.
角度3 区域角的求解例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.
解 (1)对于阴影部分,先取-60°~75°这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)对于阴影部分,先取60°~90°这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.
延伸探究 1若将本例4(1)改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?
解 在0°~360°范围内,阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为150°≤β≤225°,则所有满足条件的角β为{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.
延伸探究 2若将本例4(2)改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示?
解 在0°~360°范围内,终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°,所以所有满足题意的角β为{β|k·360°+60°≤β
例5已知α是第二象限角:(1)求角 所在的象限;(2)求角2α所在的象限.
(方法2)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为 的终边所在的区域,故 为第一或第三象限角.(2)∵k·360°+90°<α
角的终边的对称问题典例 1 (1)若角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θ+α= . (2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γ+α= .
解析 (1)设角β与角α的终边相同,则-β与β关于x轴对称,根据终边相同角的表示可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.(2)设角β与角α的终边相同,则180°-β与β关于y轴对称.根据终边相同角的表示,可得α=β+k3·360°,k3∈Z,γ=180°-β+k4·360°,k4∈Z.故γ+α=(180°-β+k4·360°)+(β+k3·360°)=[2(k3+k4)+1]·180°=(2k+1)·180°,k∈Z.答案 (1)k·360°,k∈Z (2)(2k+1)·180°,k∈Z
典例 2若角α的终边与60°角的终边关于直线y=x对称,且-360°<α<360°,求角α的值.
【规范答题】解 如图,设60°角的终边为OA,射线OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以射线OB为终边的一个角为90°-60°=30°.∴以射线OB为终边的角的集合为{α|α=k·360°+30°,k∈Z},又-360°<α<360°,∴-360°
1.下列叙述正确的是( )A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小答案 B解析 90°角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
2.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )A.315°-5×360°B.45°-4×360°C.-315°-4×360°D.-45°-10×180°答案 A解析 ∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
3.-495°角的终边与下列哪个角的终边相同( )A.135°B.45°C.225°D.-225°答案 C解析 因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.故选C.4.与-2 018°角终边相同的最小正角是 . 答案 142°角解析 ∵-2 018°=-6×360°+142°,故所求角度数为142°.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是 .
答案 {α|k·360°+45°<α
1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算)
[激趣诱思]跳水是一项优美的水上运动,它是从高处用各种姿势跃入水中或是从跳水器械上起跳,在空中完成一定动作姿势,并以特定动作入水的运动.每组跳水动作都有自己的号码,以表示动作组别和翻腾转体的周数.如“305”表示第三组动作:反身翻腾两周半;“113”表示第一组动作向前飞身翻腾一周半.这里的“两周半”“一周半”分别是多少度?“向前”和“反身”又如何用角度来表达?
知识点一:任意角1.角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类
3.相等角与角的加减(1)相等角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.(2)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.(3)设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.名师点析 角的概念推广后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意义.
微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示 不一定.只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.微练习经过1个小时,时针转过的角度是 . 答案 -30°
知识点二:象限角与终边相同的角1.象限角在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
名师点析 对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三层含义:①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针旋转;k取负整数时,顺时针旋转;k=0时,没有旋转.(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.
微判断(1)钝角是第二象限角.( )(2)第二象限角是钝角.( )(3)第二象限角大于第一象限角.( )(4)终边不同的角一定不相等.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√微思考相等的角终边相同吗?反过来,终边相同的角相等吗?提示 相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.
微练习已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α= ,它是第 象限角. 答案 240° 三解析 因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同,且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.
例1(多选题)下列说法不正确的是( )A.三角形的内角不一定是第一、二象限角B.始边相同,终边相同的角不一定相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角答案 CD解析 A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确;B中始边相同,终边相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正确;C中钝角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正确;D中零角或负角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.
要点笔记 理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
变式训练1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )A.60°,720°B.-60°,-720°C.-30°,-360°D.-60°,720°(2)给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 (1)B (2)D解析 (1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 ×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.(2)由题可得-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°.所以这四个命题都是正确的.
角度1 终边相同的角的求解例2写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.分析根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1 080°范围内的角.
解 与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角.要点笔记 求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.
角度2 终边在某条直线上的角的集合例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
解 (1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.
反思感悟 终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.
角度3 区域角的求解例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.
解 (1)对于阴影部分,先取-60°~75°这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)对于阴影部分,先取60°~90°这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.
延伸探究 1若将本例4(1)改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?
解 在0°~360°范围内,阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为150°≤β≤225°,则所有满足条件的角β为{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.
延伸探究 2若将本例4(2)改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示?
解 在0°~360°范围内,终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°,所以所有满足题意的角β为{β|k·360°+60°≤β
例5已知α是第二象限角:(1)求角 所在的象限;(2)求角2α所在的象限.
(方法2)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为 的终边所在的区域,故 为第一或第三象限角.(2)∵k·360°+90°<α
角的终边的对称问题典例 1 (1)若角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θ+α= . (2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γ+α= .
解析 (1)设角β与角α的终边相同,则-β与β关于x轴对称,根据终边相同角的表示可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.(2)设角β与角α的终边相同,则180°-β与β关于y轴对称.根据终边相同角的表示,可得α=β+k3·360°,k3∈Z,γ=180°-β+k4·360°,k4∈Z.故γ+α=(180°-β+k4·360°)+(β+k3·360°)=[2(k3+k4)+1]·180°=(2k+1)·180°,k∈Z.答案 (1)k·360°,k∈Z (2)(2k+1)·180°,k∈Z
典例 2若角α的终边与60°角的终边关于直线y=x对称,且-360°<α<360°,求角α的值.
【规范答题】解 如图,设60°角的终边为OA,射线OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以射线OB为终边的一个角为90°-60°=30°.∴以射线OB为终边的角的集合为{α|α=k·360°+30°,k∈Z},又-360°<α<360°,∴-360°
1.下列叙述正确的是( )A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小答案 B解析 90°角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
2.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )A.315°-5×360°B.45°-4×360°C.-315°-4×360°D.-45°-10×180°答案 A解析 ∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
3.-495°角的终边与下列哪个角的终边相同( )A.135°B.45°C.225°D.-225°答案 C解析 因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.故选C.4.与-2 018°角终边相同的最小正角是 . 答案 142°角解析 ∵-2 018°=-6×360°+142°,故所求角度数为142°.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是 .
答案 {α|k·360°+45°<α
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