高中数学第二章 平面向量综合与测试测试题

第二章　平面向量

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.其中正确命题的序号是(　　)

A.① B.③ C.①③ D.①②

2.向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos=(　　)

A.- B. C.- D.-

3.已知两点A(2,-1),B(3,1),与平行且方向相反的向量a可能是(　　)

A.(1,-2) B.(9,3)

C.(-1,2) D.(-4,-8)

4.如图,正方形ABCD中,点E、F分别是DC、BC的中点,那么=(　　)

A.+ B.--

C.-+ D.-

5.设M为平行四边形ABCD 对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于　(　　)

A. B.2 C.3 D.4

6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,则实数λ=(　　)

A.-3 B. C.1 D.3

7.与向量a=(1,)的夹角为30°的单位向量是(　　)

A. B.

C.(0,1) D.(0,1)或

8.如图,在三角形ABC中,已知AB=2,AC=3,∠BAC=θ,点D为BC上靠近B点的三等分点.则·的取值范围为 (　　)

A. B. C. D.

9.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为(　　)

A. B. C. D.

10.向量=(3,-1),n=(2,1),且n·=2,则n·=(　　)

A.2 B.-2 C.7 D.-7

11.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=×,则P一定为△ABC的(　　)

A.重心

B.AB边中线的三等分点(非重心)

C.AB边中线的中点

D.AB边的中点

12.若直线x+ky=0(k≠0)与函数f(x)=的图象交于不同的两点A,B,且点C(9,3),若点D(m,n)满足+=,则m+n=(　　)

A.k B.2 C.4 D.6

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值为　　　　. 

14.已知平面向量a,b满足|a|=1,a·b=3,则|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　. 

15.给出下列几个命题:

①非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°;

②若=·+·+·,则△ABC必定是直角三角形;

③△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若+=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为.

其中正确的是　　　　(填序号). 

16.如图,已知正方形ABCD的边长为3,且=2,连接BE并延长交CD于F,则(+2)·=　　　　. 

三、解答题(共70分)

17.(10分)(1)在平面直角坐标系中,已知点A(5,4),B(k,10),C(12,-2),当k为何值时,向量与共线?

(2)在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,=(-7,6),=(3,k),=(5,7),当k为何值时,向量与垂直?

18.(12分)已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=1,|2a-b|=.

(1)求|b|;

(2)若a⊥(a-λb),求λ.

19.(12分)已知|a|=4,b=(-1,).

(1)若a∥b,求a的坐标;

(2)若a与b的夹角为120°,求|a-b|.

20.(12分)如图所示,在△ABC中,点M在BC边上,且=,点N在AC边上,且=3,AM与BN交于点P,设=a,=b,用a,b表示.

21.(12分)已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P,连接AP.用向量法证明:

(1)BE⊥CF;

(2)AP=AB.

22.(12分)在△ABC中,点M是AC边上靠近点C的三等分点,点N是AB边上靠近点A的三等分点,AC=10,BC=8,连接MN,=,·=40.

(1)用、表示和;

(2)求cos∠ACB的值.

答案全解全析

第二章　平面向量

本章达标检测

一、选择题

1.A　根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.故选A.

2.C　因为a∥b,所以-tan αcos α=0,

所以-·cos α=0,

所以sin α=.

所以cos=-sin α=-.故选C.

3.D　易得=(1,2),结合选项知a=(-4,-8)=-4×(1,2)=-4.故选D.

4.D　连接BD,则EF∥BD,且EF=BD,所以==(-)=-.

5.D　不妨把A点看成O点,则+++=0+++,∵M是平行四边形ABCD对角线的交点,∴0+++=2=4.故选D.

6.A　因为向量a=(1,2),b=(0,-2),所以2a-b=(2,6).又因为(2a-b)∥c,c=(-1,λ),所以2λ+6=0,解得λ=-3,故选A.

7.D　设单位向量e=(x,y),则x2+y2=1①,

由题意得cos 30°===,即x+y=②.

由①②解得或

所以e=(0,1)或e=,,故选D.

8.C　∵=+=+=+(-)=+,

∴·=+·(-)=-||2+||2+·

=-×4+×9+×2×3cos θ

=2cos θ+.

∵-1<cos θ<1,∴-<2cos θ+<.

∴·∈.故选C.

9.C　(a+2b)·(5a-4b)=5a2+6a·b-8b2=0,又|a|=|b|=1,所以6a·b=3,所以cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,故选C.

10.C　∵=(3,-1),∴=(-3,1),

∴n·=n·(+)

=n·+n·=-6+1+n·=2,

∴n·=7.

11.B　设AB的中点为E,

∵O是△ABC的重心,

∴=×++2

=(+2),又∵=2,∴=(+4)=,∴点P在AB边的中线CE上,是中线CE的三等分点,但不是重心O,故选B.

12.C　∵f(-x)===-f(x),且x∈R,

∴f(x)是奇函数,又直线x+ky=0(k≠0)过原点,∴点A,B关于原点O对称,

∵+=,∴2=,

∴2(-m,-n)=(m-9,n-3),

∴解得∴m+n=4,

故选C.

二、填空题

13.答案　-6

解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,2),设P(x,y),

∴·(+)=·2=(-x,2-y)·2(-x,-y)=2(x2+y2-2y)

=2[x2+(y-)2-3],易知当x=0,y=时,·(+)取得最小值-6.

14.答案　6

解析　设向量a,b的夹角为θ,

因为|a|=1,a·b=|a||b|cos θ=3,

所以|b|=,

所以|a+b|+|a-b|

=+

=+

=+

=+,

当cos θ=±1时,|a+b|+|a-b|最小,为+=6.

15.答案　①②③

解析　对于①,由向量的减法法则知,向量a,b,a-b组成一个等边三角形,向量a,b的夹角为60°,又由向量加法的平行四边形法则知,以a,b为邻边的平行四边形为菱形,所以a与a+b的夹角为30°,故①正确;对于②,因为=·+·+·,所以=·(-)-·=·(-)-·=·-·,所以·=0,即⊥,所以△ABC是直角三角形,故②正确;对于③,由题目信息可作出图形,如图所示,三角形AOC为等边三角形,所以∠ACB=60°,且BC为直径,所以∠ABC=30°,在直角三角形ABC中,BC=2,AC=1,所以AB=,则向量在向量方向上的投影为||·cos∠ABC=×=,故③正确.

综上,命题①②③正确.

16.答案　-69

解析　以C为坐标原点,CB,CD所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图.

则C(0,0),A(-3,3),B(-3,0),=(-3,3),

又=2,所以点F为CD的中点,所以F0,,所以=3,,所以+2=(3,6),-4=(-13,-5),

所以(+2)·=3×(-13)+6×(-5)=-69.

三、解答题

17.解析　(1)∵=(k-5,6),=(12-k,-12),且向量与共线,

∴(k-5)×(-12)-(12-k)×6=0,解得k=-2.

(2)=-=(10,k-6),=-=(2,7-k),当向量与垂直时,·=20+(k-6)(7-k)=-k2+13k-22=0,即k2-13k+22=0,解得k=2或k=11.

18.解析　(1)由|2a-b|=得4a2-4a·b+b2=7,即|b|2-2|b|-3=0,

解得|b|=3或|b|=-1(舍去),∴|b|=3.

(2)由a⊥(a-λb)得a·(a-λb)=0,

∴a2-λa·b=0,

即1-λ=0,解得λ=.

19.解析　(1)∵b=(-1,),∴|b|=2,

∴与b共线的单位向量为c=±=±.

∵|a|=4,a∥b,∴a=|a|c,

∴a=(2,-2)或a=(-2,2).

(2)∵|a|=4,|b|=2,<a,b>=120°,

∴a·b=|a||b|cos<a,b>=-4,

∴(a-b)2=a2-2a·b+b2=28,

∴|a-b|=2.

20.解析　∵A、P、M三点共线,∴存在λ∈R,使得=λ,同理,存在μ∈R,使得=μ,

∵=+=+λ=+λ(+)=(1-λ)+λ,

=+=+μ=+μ(+)=(1-μ)+μ,

∴解得

∴=+×=a+b.

21.证明　如图,建立平面直角坐标系xOy,其中A为坐标原点,不妨设AB=2,

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,

∴⊥,即BE⊥CF.

(2)设P(x,y),则=(x,y-1),

∵∥,∴-x=(-2)(y-1),即x=2y-2.

同理∥,∴y=-2x+4.

联立解得

即P,.

∴=2+2=4=,

∴||=||,即AP=AB.

22.解析　(1)如图所示.

=+=+=(-)+=-+=-=(-)+=-,

=+=+=(-)+=-+=-(-)=-+-=--.

(2)=+=+=+,

故·=·=·(+·)=40,

故·=20,则cos∠ACB===.