高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制随堂练习题，共21页。试卷主要包含了1 任意角和弧度制，下列说法正确的是，下面各组角中,终边相同的是等内容，欢迎下载使用。

5.1 任意角和弧度制
第1课时 任意角
考点1 角的概念的理解问题
1.(2019·人大附中单元测评)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )。
A.120°B.-120°C.240°D.-240°
答案：D
解析：按顺时针方向旋转形成的角是负角,排除A,C;又由题意知旋转的角度是240°,排除B。故选D。
2.(2019·黑龙江哈尔滨师大附中高一月考)期末考试,数学科从上午8时30分开始,考了2小时,从考试开始到考试结束分针转过了( )。
A.360°B.720°C.-360°D.-720°
答案：D
解析：因为分针转一圈(即1小时)是-360°,所以从考试开始到考试结束分针转过了-720°。故选D。
3.(2019·江西临川一中单元测评)设集合A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是( )。
A.A=BB.B=C
C.A=CD.A=D
答案：D
解析：集合A中锐角θ满足0°<θ<90°;而集合B中θ<90°,可以为负角;集合C中θ满足k·360°<θ4.(2019·湖北巴东高一月考)下列说法正确的是( )。
A.第一象限的角一定是正角
B.三角形的内角不是锐角就是钝角
C.锐角小于90°
D.终边相同的角相等
答案：C
解析：-355°是第一象限的角,但不是正角,所以A错误;三角形的内角可能是90°,所以B错误;锐角小于90°,C正确;45°与405°角的终边相同,但不相等,所以D错误。故选C。
考点2 终边相同的角的公式的应用问题
5.(2019·北京海淀人大附中高一上期末)设集合M={α|α=45°+k·90°,k∈Z},N={α|α=90°+k·45°,k∈Z},则集合M与N的关系是( )。
A.M∩N=⌀B.MN
C.NMD.M=N
答案：C
解析：对于集合M,α=45°+k·90°=45°+2k·45°=(2k+1)·45°,即M={α|α=(2k+1)·45°,k∈Z};对于集合N,α=90°+k·45°=2×45°+k·45°=(k+2)45°,即N={α|α=(k+2)·45°,k∈Z}={α|α=n·45°,n∈Z}。∵2k+1表示所有的奇数,n表示所有的整数,∴NM,故选C。
6.(2019·福建闽侯第四中学高一期末)下面各组角中,终边相同的是( )。
A.390°,690°B.-330°,750°
C.480°,-420°D.3 000°,-840°
答案：B
解析：∵-330°=-360°+30°,750°=720°+30°,∴-330°角与750°角的终边相同。
7.(2019·武汉高一调考)若α=n·360°+θ,β=m·360°-θ,m,n∈Z,则α,β终边的位置关系是( )。
A.重合B.关于原点对称
C.关于x轴对称D.关于y轴对称
答案：C
解析：由α=n·360°+θ,n∈Z可知α与θ是终边相同的角,由β=m·360°-θ,m∈Z可知β与-θ是终边相同的角。因为θ与-θ两角终边关于x轴对称,所以α与β两角终边关于x轴对称。
8.(2019·长沙一中单元检测)与2 017°角终边相同的最小正角是 角。
图5-1-1-1
答案：217°
解析：因为与2 017°角终边相同的角是2 017°+k·360°(k∈Z),所以当k=-5时,与2 017°角终边相同的最小正角是217°角。
9.(2019·南京二中单元测评)已知角α的终边在图5-1-1-1中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么α∈ 。
答案：{α|n·180°+30°<α解析：在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°,所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α考点3 角所在的象限的判定问题
10.(2019·河南郑州高一上期末)若α=k·180°+45°,k∈Z,则α终边所在的象限是( )。
A.第一、三象限B.第一、二象限
C.第二、四象限D.第三、四象限
答案：A
解析：由题意知α=k·180°+45°,k∈Z。
当k=2n+1,n∈Z时,
α=2n·180°+180°+45°=n·360°+225°,n∈Z,其终边在第三象限;
当k=2n,n∈Z时,
α=2n·180°+45°=n·360°+45°,n∈Z,其终边在第一象限。
综上,α终边所在的象限是第一或第三象限。
11.(2019·江西高安中学高一上期末)给出下列四个结论:①-15°角是第四象限角;②185°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-350°角是第一象限角。
其中正确的个数为( )。
A.1B.2C.3D.4
答案：D
解析：①-15°角是第四象限角;
②因为180°<185°<270°,所以185°角是第三象限角;
③因为475°=360°+115°,90°<115°<180°,所以475°角是第二象限角;
④因为-350°=-360°+10°,所以-350°角是第一象限角。
所以四个结论都是正确的。
12.(2019·四川资阳高一期末)若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α-150°的终边在( )。
A.第一象限B.第二象限
C.y轴的正半轴上D.x轴的负半轴上
答案：B
解析：因为角α的终边在y轴的负半轴上,所以α=k·360°+270°(k∈Z),所以角α-150°=k·360°+270°-150°=k·360°+120°(k∈Z),所以α-150°的终边在第二象限。故选B。
13.(2019·南昌一中模块训练)若角α是第三象限角,则角α2的终边所在的区域是如图5-1-1-2所示的区域(不含边界)( )。
图5-1-1-2
A.③⑦B.④⑧
C.②⑤⑧D.①③⑤⑦
答案：A
解析：∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α当k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°<α2∴角α2的终边所在的区域为③⑦。
14.(2019·太原模块统考)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α是( )。
A.第一象限角B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角
答案：C
解析：因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α考点4 任意角的综合问题
15.(2019·山东师大附中高一期末)下列角的终边位于第二象限的是( )。
A.420°B.860°C.1 060°D.1 260°
答案：B
解析：420°=360°+60°,终边位于第一象限;860°=2×360°+140°,终边位于第二象限;1 060°=2×360°+340°,终边位于第四象限;1 260°=3×360°+180°,终边位于x轴非正半轴。故选B。
16.(2019·青岛高一调考)与-420°角终边相同的角是( )。
A.-120°B.420°C.660°D.280°
答案：C
解析：与-420°角终边相同的角为n·360°-420°(n∈Z),当n=3时,n·360°-420°=660°。故选C。
17.(2019·西安高一统考)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是( )。
A.B=A∩CB.B∪C=C
C.ACD.A=B=C
答案：B
解析：A={第一象限角}={x|k·360°18.(2019·东北三校高一联考)与-463°角终边相同的角可表示为( )。
A.k·360°+463°(k∈Z)B.k·360°+103°(k∈Z)
C.k·360°+257°(k∈Z)D.k·360°-257°(k∈Z)
答案：C
解析：因为-463°=257°+(-2)×360°,所以与-463°角终边相同的角可表示为k·360°+257°(k∈Z)。故选C。
19.(2019·南昌高一模块统考)如果角α的终边在第三象限,那么α3的终边一定不在( )。
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案：B
解析：∵α为第三象限角,
∴k·360°+180°<α∴k·120°+60°<α3分别取k=0,1,2,3,…,可得α3的终边分别在第一、第三、第四、第一、…象限,均不过第二象限;
取k=-1,-2,-3,…时,α3的终边分别在第四、第三、第一、…象限,均不过第二象限,
故α3的终边一定不在第二象限,故选B。
20.(2019·南京模块统考)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= 。
答案：-30°+k·360°,k∈Z
解析：-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,∴β=-30°+k·360°,k∈Z。
21.(2019·西北大附中月考)写出终边在直线y=-3x上的角的集合。
答案：解:终边在射线y=-3x(x≤0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z};终边在射线y=-3x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}。
因此,终边在直线y=-3x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}。
故终边在直线y=-3x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}。
【点拨】求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即对x分情况讨论,最后再进行合并。
22.(2019·哈尔滨三中周练)在与10 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角:
(1)最大的负角;
答案：由-360°(2)最小的正角;
答案：由0°(3)在360°~720°范围内的角。
答案：由360°故在360°~720°范围内的角为β=-26×360°+10 030°=670°。
23.(2019·武汉二中月考)已知α是第二象限角,试确定2α,α2的终边所在的位置。
答案：解:因为α是第二象限角,所以k·360°+90°<α因为k·360°+90°<α当k=2n,n∈Z时,n·360°+45°<α2当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°<α2所以α2的终边在第一或第三象限。
24.(2019·衡水中学单元检测)如图5-1-1-3所示,写出终边落在阴影部分的角的集合。
图5-1-1-3
答案：解:设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成。
①{α|k·360°+30°≤α②{α|k·360°+210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集,即
S={α|k·360°+30°≤α={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}
={α|n·180°+30°≤α25.(2019·西南大学附中单元检测,★★★)如图5-1-1-4,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从点A处出发,按逆时针方向匀速沿单位圆旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s第一次到达第三象限,经过14 s又回到出发点A,求θ,并判断其终边所在的象限。
图5-1-1-4
答案：解:由题意,得14θ+45°=n·360°+45°(n∈Z),所以θ=n·180°7(n∈Z)。又因为180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°,所以n=3或n=4。所以θ=540°7或θ=720°7。易知0°<540°7<90°,90°<720°7<180°,所以θ的终边在第一象限或第二象限。
26.(2019·深圳中学单元测评)如图5-1-1-5,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中,0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求角α,β的度数。
图5-1-1-5
答案：解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z。
由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,
进而知90°<2α<2β<180°,即45°<α<β<90°,
∴45°<α=m7·180°<90°,45°<β=n7·180°<90°,
∴74∵α<β,∴m∴m=2,n=3,∴α=3607°,β=5407°。
第2课时 弧度制
考点1 弧度制概念的理解问题
1.(2019·银川一中单元测评)下列说法正确的是( )。
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
答案：A
解析：对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,不在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以不是正角,故D错误。
2.(2019·南昌二中月考)下列说法中,错误的是( )。
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案：D
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误。
3.(2019·重庆第一中学高一上期末)一条弦长等于半径,则此弦所对圆心角的弧度数为( )。
A.π6B.π3C.12D.13
答案：B
解析：因为弦长等于半径,所以弦和两半径构成等边三角形,所以弦所对圆心角为60°,即π3 rad。
4.(2019·安徽滁州高一上期末)时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度为( )。
A.143πB.-143π
C.718πD.-718π
答案：B
解析：显然分针在1时到3时20分这段时间里,顺时针转过了73周,转过的弧度为73×(-2π)=-143π。
5.(2019·天津红桥区高一上期末)在半径为12 mm的圆上,长度为48 mm的弧所对的圆心角的弧度数为 。
答案：4
解析：由题意可得:L=48 mm,R=12 mm。设圆心角为θ(0<θ<2π)。∵L=Rθ,∴θ=LR=4812=4(rad)。
6.(2019·东北师大附中单元测评)圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 。
答案：13
解析：设原来圆的半径为r,弧长为l,弧所对的圆心角为α(0<α<2π),则现在的圆的半径为3r,弧长为l,设弧所对的圆心角为β(0<β<2π),于是l=αr=β·3r,∴β=13α。
考点2 弧度与角度的互化问题
7.(2019·合肥二中月考)下列转化结果错误的是( )。
A.67°30'化成弧度是3π8
B.-10π3化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是-7π6
D.π12化成角度是15°
答案：C
解析：对于A,67°30'=67.5×π180=3π8,正确;对于B,-10π3=-10π3×180π°=-600°,正确;对于C,-150°=-150×π180=-5π6,错误;对于D,π12=π12×180π°=15°,正确。
8.(2019·广西贺州高一上期末)角29π12的终边所在的象限是( )。
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案：A
解析：因为29π12=2π+512π,角5π12是第一象限角,所以角29π12的终边所在的象限是第一象限。
9.(2019·石家庄二中单元检测)已知两角和为1弧度,且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是 。
答案：12+π360,12-π360
解析：设两个角的弧度数分别为x,y。因为1°=π180rad,所以x+y=1,x-y=π180,解得x=12+π360,y=12-π360,所以所求两角的弧度数分别为12+π360,12-π360。
10.(2019·青岛模块测评)已知α=15°,β=π10,γ=1,θ=105°,φ=7π12,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为 。
答案：α<β<γ<θ=φ
解析：方法一(化为弧度):α=15°=15×π180=π12,θ=105°=105×π180=7π12。显然π12<π10<1<7π12,故α<β<γ<θ=φ。
方法二(化为角度):β=π10=π10×180π°=18°,γ=1≈57.30°,φ=7π12×180π°=105°。显然15°<18°<57.30°<105°,故α<β<γ<θ=φ。
考点3 弧度制下终边相同的角的公式的应用问题
11.(2019·山西大同模块统考)把-114π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是( )。
A.-3π4B.-π4
C.π4D.3π4
答案：A
解析：∵-11π4=-2π-3π4,∴-11π4与-3π4是终边相同的角,且此时-3π4=3π4是最小的。
12.(2019·河南新乡高一上期末)若角α与角x+π4有相同的终边,角β与角x-π4有相同的终边,则α与β间的关系为( )。
A.α+β=0B.α-β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z)D.α-β=2kπ+π2 (k∈Z)
答案：D
解析：∵α=x+π4+2k1π(k1∈Z),β=x-π4+2k2π(k2∈Z),∴α-β=π2+2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∈Z)。
∵k1∈Z,k2∈Z,∴k1-k2∈Z。
∴α-β=π2+2kπ(k∈Z)。
13.(2019·黄冈高一调考)若角α的终边落在如图5-1-2-1所示的阴影部分内,则角α的取值范围是( )。
图5-1-2-1
A.π6,π3 B.2π3,7π6 C.2π3,7π6 D.2kπ+2π3,2kπ+7π6(k∈Z)
答案：D
解析：阴影部分的两条边界分别是角2π3和角7π6的终边,所以α的取值范围是2kπ+2π3,2kπ+7π6(k∈Z)。
14.(2019·四川绵阳高一调研)若α3=2kπ+π3(k∈Z),则α2的终边在( )。
A.第一象限B.第四象限
C.x轴上D.y轴上
答案：D
解析：∵α3=2kπ+π3(k∈Z),∴α=6kπ+π(k∈Z),∴α2=3kπ+π2(k∈Z)。当k为奇数时,α2的终边在y轴的非正半轴上;当k为偶数时,α2的终边在y轴的非负半轴上。综上,α2的终边在y轴上,故选D。
15.(2019·江苏无锡模块统考)若角θ的终边与8π5角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角θ4的终边相同的角是 。
答案：2π5,9π10,7π5,19π10
解析：∵θ=8π5+2kπ,k∈Z,∴θ4=2π5+kπ2,k∈Z。当k=0,1,2,3时,θ4=2π5,9π10,7π5,19π10且θ4∈[0,2π]。
16.(2019·宁波高一调考)若角α的终边与π6角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α= 。
答案：-11π3,-5π3,π3,7π3
解析：由题意,角α与π3角的终边相同,则π3+2π=73π,π3-2π=-53π,π3-4π=-113π。
考点4 弧度制下的扇形面积公式的应用问题
17.(2019·江苏连云港高二期末)若扇形的半径变为原来的2倍,弧长增加到原来的2倍,则( )。
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增加到原来的2倍
D.扇形的圆心角增加到原来的2倍
答案：B
解析：设原来的扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后的扇形的半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,l=αr,2l=2rβ,所以α=β。即扇形的圆心角不变。
18.(2019·兰州一中月考)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )。
A.2B.4C.6D.8
答案：C
解析：设扇形所在圆的半径为R,则2=12×4×R2,∴R2=1,∴R=1。∴扇形的弧长为4×1=4,扇形的周长为2+4=6。故选C。
19.(2019·西安一中月考)扇形周长为6 cm,面积为2 cm2,则其圆心角的弧度数是( )。
A.1或5B.1或2
C.2或4D.1或4
答案：D
解析：设扇形的半径为r cm,圆心角为α(0<α<2π),则2r+αr=6,12αr2=2。解得r=1,α=4或r=2,α=1。
20.(2019·湖北武汉调研)如图5-1-2-2,圆的半径为5,则圆内阴影部分的面积是( )。
图5-1-2-2
A.175π36 B.125π18 C.25π6 D.34π9
答案：A
解析：40°=40×π180=2π9,30°=30×π180=π6,∴S=12r2·2π9+12r2·π6=175π36。
21.(2019·江西九江一中月考)一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB。
答案：解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为α(0<α<2π),
则12lr=1,l+2r=4,解得r=1,l=2,
∴圆心角α=lr=2 rad。
如图,过点O作OH⊥AB,垂足为点H,则∠AOH=1 rad。
∴AH=1·sin 1=sin 1(cm),
∴AB=2sin 1(cm)。
考点5 弧度制的综合应用问题
22.(2019·广西贺州高一上期末质量检测)终边在直线y=3x上,且在[-2π,2π)内的角α构成的集合为 。
答案：-53π,-23π,π3,43π
解析：如图,在坐标系中画出直线y=3x,可以发现它与x轴的夹角是π3,在[0,2π)内,终边在直线y=3x上的角有两个:π3,43π;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-23π,-53π,故满足条件的角α构成的集合为-53π,-23π,π3,43π。
23.(2019·湖北黄冈高一调考)集合A=αα=nπ2,n∈∈Z∪αα=2nπ±2π3,n∈Z,B=ββ=23nπ,n∈Z∪ββ=nπ+π2,n∈Z,则A与B的关系为 。
答案：BA
解析：方法一:集合A,B中角的终边,如图所示。
所以BA。
方法二:αα=nπ2,n∈Z={α|α=kπ,k∈Z}∪αα=kπ+π2,k∈Z;
ββ=2nπ3,n∈Z={β|β=2kπ,k∈Z}∪ββ=2kπ±2π3,k∈Z。
比较集合A,B的元素知,B中的元素都是A中的元素,但A中元素α=(2k+1)π(k∈Z)不是B中的元素,所以BA。
24.(2019·东北师大附中单元测评)如图5-1-2-3,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒转π3弧度,点Q按顺时针方向每秒转π6弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长。
图5-1-2-3
答案：解:依题意知圆的半径为4,设P,Q第一次相遇时所用的时间是t s,则π3t+-π6×t=2π,解得t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4 s。P点走过的弧长为4π3×4=16π3,Q点走过的弧长为2π3×4=8π3。
25.(2019·启东中学单元测评)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10。
(1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小;
答案：因为圆O的半径为10,弦AB的长为10,
所以△AOB为等边三角形,所以α=∠AOB=π3。
(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S。
答案：因为α=π3,所以l=αr=10π3,
S扇形=12lr=12×10π3×10=50π3。
又因为S△AOB=12×10×10×32=253,
所以S=S扇形-S△AOB=50π3-253=50π3-32。