2021学年5.1 任意角和弧度制学案

5.1.1　任意角

(教师独具内容)

课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角．

教学重点：理解正角、负角、零角、相反角、象限角的概念，掌握终边相同角的表示方法．

教学难点：用集合符号表示终边相同的角．

【知识导学】

知识点一　　　角的相关概念

(1)角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示：

如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：

知识点二　　　相反角

如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.

知识点三　　　象限角

(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．

(2)若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．

知识点四　　　终边相同的角

设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

【新知拓展】

对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；

(3)终边相同的角的表示不唯一．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．(　　)

(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．(　　)

(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)与600°角终边相同的角可表示为(　　)

A．k·360°＋220°(k∈Z)

B．k·360°＋240°(k∈Z)

C．k·360°＋60°(k∈Z)

D．k·360°＋260°(k∈Z)

(2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________.

答案　(1)B　(2)k·360°，k∈Z

题型一  正确理解角的概念

例1　下列命题正确的是(　　)

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

[解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C．

[答案]　C

金版点睛

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

　(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了(　　)

A．60° B．－60° 

C．30° D．－30°

(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．

答案　(1)B　(2)见解析

解析　(1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B．

(2)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.

题型二  终边相同的角的表示

例2　(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；

(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

[解]　(1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．

∵－720°≤β<360°，

∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，3≤k<6.

故k＝4,5,6，

k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，

k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，

k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.

(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．

②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．

[变式探究]　在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最小的正角；

(2)最大的负角．

解　1030°÷360°＝2……310°，

所以1030°＝2×360°＋310°，

所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．

(1)所求的最小正角为310°.

(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.

金版点睛

在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法

(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．

(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

　已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.

答案　－960°

解析　∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又∵－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－3<k<－2，又k∈Z，故k＝－3，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.

题型三  象限角的判定

例3　(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①－75°；②855°；③－510°；

(2)若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？

[解]　(1)作出各角，其对应的终边如图所示：

①由图a可知：－75°是第四象限角．

②由图b可知：855°是第二象限角．

③由图c可知：－510°是第三象限角．

(2)①∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．

②∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．

解法一：A．当k＝2n(n∈Z)时，

45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；

b．当k＝2n＋1(n∈Z)时，

225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，

即是第三象限角．故是第一或第三象限角．

解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，

∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即是第一或第三象限角．

金版点睛

象限角的判定方法

(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．

(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

(3)nα所在象限的判断方法

确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．

(4)所在象限的判断方法

已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：

①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．

②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．

　(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；

(2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限．

解　(1)因为α为第三象限角，

所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，

则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，

所以90°－α的终边在第三象限．

(2)由于α为第四象限角，

即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，

所以∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．

当k＝2n，n∈Z时，∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，是第四象限角；

当k＝2n＋1，n∈Z时，∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，是第二象限角．

综上，可知的终边所在的象限是第二或第四象限．

题型四  区域角的表示

例4　写出终边落在阴影部分的角的集合．

[解]　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．

①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．

②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．

[条件探究]　将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．

解　(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．

(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．

金版点睛

区域角的写法可分三步

(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；

(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．

　写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．

解　(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k· 360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．

(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．

1．－215°是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

答案　B

解析　∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B．

2．下列说法正确的是(　　)

A．终边相同的角一定相等

B．钝角一定是第二象限角

C．第一象限角一定不是负角

D．小于90°的角都是锐角

答案　B

解析　因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；钝角一定是第二象限角，故B项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B．

3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．

答案　－5　－60

解析　将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.

4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________，α的相反角为________．

答案　150°＋k·360°(k∈Z)　－30°

解析　∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，

∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)，α的相反角为－30°.

5．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．

解　终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z)∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.