人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制导学案

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如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时．
(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
知识点1 任意角
(1)角的旋转定义
(2)角的推广与分类——正角、负角和零角
1.终边和始边重合的角一定是零角吗？
[提示] 不一定，还有可能是±360°，±720°，…
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)大于90°的角都是钝角．( )
(2)零角的终边与始边重合．( )
(3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°.( )
(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
图(1) 图(2)
[答案] 390° －150° 60°
知识点2 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
3.如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________.
图(1) 图(2)
[答案] 110° －70°
知识点3 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
[提示] 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)－30°是第四象限角．( )
(2)第二象限角是钝角．( )
(3)225°是第三象限角．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
知识点4 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
3.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
[提示] 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5.与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)( )
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°
B [∵610°＝360°＋250°，故选B.]
类型1 任意角的概念
【例1】 (1)下列结论：
①始边相同而终边不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③钝角比第三象限角小；
④角α与－α的终边关于x轴对称．
其中正确的结论为________(填序号)．
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________.
(1)①④ (2)－40° [(1)①正确；②错误；如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确．
(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°.]
理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
(2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120°B．－120°
C．－60°D．60°
(1)B (2)B [(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B.
(2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－eq \f(4,12)×360°＝－120°.]
类型2 终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来；
(2)写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？
[解] (1)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3eq \f(11,36)≤k＜6eq \f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
(2)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
由于－360°<β<360°，
即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z.
解得－eq \f(11,4)所以集合S中适合不等式－360°<β<360°的元素为：
135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°；
135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°.
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
[解] 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
类型3 象限角及区域角的表示
【例3】 (1)若α是第一象限角，则－eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角B．第一、四象限角
C．第二象限角D．第二、四象限角
(2)如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
以终边相同的角为切入点，思考如何表示某个区域内的角？
(1)D [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜eq \f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以－k·180°－45°<－eq \f(α,2)<－k·180°，k∈Z，
所以－eq \f(α,2)是第二、四象限角．]
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
1．表示区间角的3个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或eq \f(α,n)所在象限的判断方法
(1)用不等式表示出角nα或eq \f(α,n)的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或eq \f(α,n)所在象限．
例如：k·120°＜eq \f(α,3)＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜eq \f(α,3)＜30°，每次逆时针旋转120°可得eq \f(α,3)终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.(1)若角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )
A．③⑦
B．④⑧
C．②⑤⑧
D．①③⑤⑦
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
(1)A [(1)∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α∴k·180°＋90°当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°∴角eq \f(α,2)的终边所在的区域为③⑦.]
(2)[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )
A．45° B．90°
C．180° D．270°
B [根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．]
2．下列各个角中与角2 021°终边相同的角的度数是( )
A．－149°B．679°
C．321°D．221°
D [因为2 021°＝360°×5＋221°，所以与2 021°终边相同的角是221°.]
3．角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.]
4．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670° [由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
5．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
[答案] {α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．任意角的分类有哪几种？
[提示] 按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？
[提示] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
3．如何由α所在象限，确定eq \f(α,n)(n∈N＋)所在的象限．
[提示] (1)不等式法．
①由角α的范围(用k表示)，表示角eq \f(α,n)的范围；
②通过对k进行分类讨论，判断角eq \f(α,n)所在象限．
(2)几何法．作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上“一、二、三、四”．α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是eq \f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq \f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(重点)
2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(重点、难点)
通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养.
自然语言
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
符号语言
O为顶点，射线OA为始边，OB为终边，α＝∠AOB
图形语言
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
射线OA没有作任何旋转，终边OB与OA重合