数学第三章 圆3 垂径定理课文内容ppt课件

这是一份数学第三章 圆3 垂径定理课文内容ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了学习目标，情境引入，线段APBP，垂径定理及其推论，新课讲解，∵AB⊥CD，∴APBP，∠AOC∠BOC，垂径定理，推导格式等内容，欢迎下载使用。
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题. （重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
如图,AB是 O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
弧: ,
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， , .
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∴ ， .
从而∠AOD=∠BOD.
能不能用所学过的知识证明你的结论？
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
， (结论)
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为E
如图，AB是 O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2） 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
（2）由垂径定理可得 ， .
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
垂径定理及其推论的计算
如图， O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=x－2,根据勾股定理，得
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x－2)2，
已知： O中弦AB∥CD,求证： .
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则 ，（垂直弦的直径平分弦所对的弧） ∴ .
根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∴这段弯路的半径约为545m.
如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
2.弓形中重要数量关系
d+h=r
1.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
2. O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦 AC= .
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE 是正方形．
∴四边形ADOE为矩形，
∴ 四边形ADOE为正方形.
4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什 么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD.
6.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MN∥EF, 且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 .
5. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°， ∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆 交AB于点D，则BD的长为_______．
7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮 工程师求出弧AB所在圆O的半径．
解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m，∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，∴AO=r，OF=r－2，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32＋（r－2）2，解得r= m．即，AB所在圆O的半径为 m．
拓展提升：如图， O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.