数学八年级上册12.1 全等三角形学案设计

【巩固练习】

一.选择题

1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（   ）

A.2   　　　　 B.3 　　　    C.5   　　　   D.2.5

2.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

　 A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS

3. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）

A．∠A=∠D      B．BC=EF      C．∠ACB=∠F     D．AC=DF

4. 在下列结论中, 正确的是(      )

  A.全等三角形的高相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等

 C. 一角对应相等的两个直角三角形全等 D.一边对应相等的两个等边三角形全等

5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（    ）．                                        

A. 线段CD的中点　           B. OA与OB的中垂线的交点　

C. OA与CD的中垂线的交点　   D. CD与∠AOB的平分线的交点

6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（    ）组．

A．1组        B．2组       C．3组        D．4组

7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（    ）

A. 相等          B.不相等        C.互补           D.相等或互补

8. △ABC中，∠BAC＝90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE的度数是(     )
　
　　A.45°      　B.20°　     C.、30°　      D.15°

二.填空题

9. 已知，若△ABC的面积为10 ，则的面积为________ ，若的周长为16，则△ABC的周长为________．

10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．

11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则BD的长是　     　．

12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.

13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝，CD＝，则△ADB的面积为______________ ．

14．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．

（1）若以“SAS”为依据，需添加条件　        　；

（2）若以“HL”为依据，需添加条件　         　．

15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.

16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.

三.解答题

17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．

求证：∠ACD＝∠ADC．

18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB于D．

求证： AC＝AD

19. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．

求证：BE=CF．

20.感受理解

如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是           　

自主学习

事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路

如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等

学以致用

参考上述学到的知识，解答下列问题：

如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】B；

【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；

2. 【答案】D；

   【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．

故选D．

3. 【答案】D；

【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；

∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．

4. 【答案】D；

   【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.

5. 【答案】D；

   【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.

6. 【答案】C；

   【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.

7. 【答案】A；

   【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL定理判定全等.

8. 【答案】D；

   【解析】由题意可得∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，所以∠DAE＝60°－45°＝15°.

二.填空题

9. 【答案】10，16；

【解析】全等三角形面积相等，周长相等.

10．【答案】①②③；

11.【答案】4cm；

   【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=90°﹣30°=60°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD=×60°=30°，

∴AD=2CD=2×2=4cm，

又∵∠B=∠ABD=30°，

∴AD=BD=4cm．

故答案为：4cm.

12.【答案】①③　

【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.

13.【答案】；

【解析】由角平分线的性质，D点到AB的距离等于CD＝，所以△ADB的面积为.

14.【答案】AB=CD；AD=BC

【解析】（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；△ABC≌△CDA（SAS）；

（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．

15.【答案】45°；

   【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.

16.【答案】20；

   【解析】BC＝AC＝AE，△DBE的周长等于AB.

三.解答题

17．【解析】

证明：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE∠CAE ＝∠CAD∠CAE，

即∠BAC＝∠EAD． 

在△ABC和△AED中，

  ∴△ABC≌△AED． （AAS）

∴AC＝AD．  

∴∠ACD＝∠ADC． 

18.【解析】

证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB

      ∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，

      ∴∠1＝∠3

      又∵FD∥BC

        ∴∠2＝∠3，

        ∴∠1＝∠2

        在△CAF与△DAF中

        ∴△CAF与△DAF（AAS）

        ∴AC＝AD.

19.【解析】

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（已知）

 ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）

又∵BD=CD

∴△BDE≌△CDF（HL）

∴BE=CF

20.【解析】

解：感受理解

EF=FD．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠BCA，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，

∴FA=FC．

∴在△EFA和△DFC中，

，

∴△EFA≌△DFC，

∴EF=FD；

学以致用：

证明：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，

∵∠B=60°，

∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，

∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．

∴∠CFG=180°﹣∠AFG﹣∠CFD=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠CFG=∠CFD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠3=∠4，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（ASA），

∴FG=FD，

∴FE=FD．