高中数学湘教版（2019）必修 第二册第5章 概率5.4 随机事件的独立性教案

随机事件的独立性

【教学目标】  

1. 结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义

2. 结合古典概型，利用独立性计算概率

3. 通过对典型案例的分析，使得学生会进行简单的应用。

【教学重点】  独立事件同时发生的概率

【教学难点】  独立事件同时发生的概率的计算

【教学方法】  启发式教学，引导学生探索发现．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数据分析，逻辑推理，数学运算．

【教学过程】

一、问题引入、直观感知

在相同的条件下，分别抛掷甲、乙两枚均匀的硬币。设A表示“甲正面朝上”，B表示“乙正面朝上”，则表示“甲、乙都正面朝上”。

1. 写出该测试的样本空间。

2. 分别计算事件A,B, 的概率，你有什么发现？

解析1：记H表示正面朝上，T表示反面朝上，则该试验的样本空间为

因为事件, ，

因此

可以发现

〖设计意图〗教师引导学生发现该测试的样本空间，计算事件A、B、的概率，了解两个随机事件独立性的含义

相互独立事件的定义：在概率论中，设A，B为两个事件，若，则称事件A和B相互独立，简称独立。

这也表明，事件A（或B）发生与否不影响事件B（A）发生的概率，当然影响是相互的，B不影响A，A不影响B，这时，我们就把这种A、B各自发生互不影响的关系成为A、B相互独立。

二、交流互动，概念辨析

例1 一个家庭种有若干个小孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，设

A=“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B=“一个家庭中最多有一个女孩”。对下述两种情形，讨论事件A和事件B的独立性。

（1）          家庭中有两个小孩。

（2）          家庭中有三个小孩。

【分析】写出家庭中由两个小孩和三个小孩的样本空间，计算事件A、B、的概率，从而判断事件A和B的独立性。

解：（1）有两个小孩的家庭，样本空间为

它有四个基本事件，由等可能性知道概率各为，这时

于是

由此可知，，所以事件A，B不独立。

（2）有三个小孩的家庭，样本空间为

它有8个基本事件，由等可能性知道概率各为，这时A含有6个基本事件，B含有4个基本事件，含有3个基本事件，

于是

由此可知，，所以事件A，B是独立的。

例2由事件独立性的定义，证明以下性质：

（1）          不可能事件和任一事件A独立。

（2）          必然事件和任一事件A独立。

（3）若事件A，B独立，那么事件A和，和B，和相互独立。

分析：利用定义解决问题

证明：（1）

即：不可能事件和任一事件A独立。

（2）

即：必然事件 和任一事件A独立。

（3）          证明若事件A、B独立，则事件A和独立。

即事件A和独立。

〖设计意图〗 例1说明两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究后才能得到正确的结论。例2为深化学生对两个随机事件的独立性含义的理解。

三、实践应用，掌握方法

例3 甲乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求：

（1）          甲或乙命中的概率；

（2）          甲中、乙不中的概率；

（3）          甲不中，乙中的概率。

分析：根据问题的实际背景，可以判断出甲、乙射击不相互影响，所以甲，乙命中的事件为相互独立事件。

解：设A=“甲命中”，B=“乙命中”，则“甲或乙命中”，“甲中，乙不中”，“乙中，甲不中”，且

(1)

(2)

(3)

〖设计意图〗两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究，经过计算才能得到正确结论，但对于实际问题，事件独立性的判断往往依赖经验，常识直观判断：如果根据问题的实际背景，可以判断出事件是否发生，对事件B发生的概率没有影响，或者，事件B是否发生，对事件A发生的概率也没有影响，那就可以说，事件A，B独立，从而运用事件独立的概念进行推导和计算。

例4：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

．

答：在这段时间内线路正常工作的概率是．

四、归纳总结，内化于心

1、小结：

若事件A，B独立，则计算的公式是

2、作业：

1、一个口袋装有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸出一个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球种任意摸出1个球，得到白球”记作事件B。

（1）在先摸出白球后，在摸出白球的概率是多少？

（2）在先摸出黑球后，在摸出白球的概率是多少？

（3）事件A与B是独立的么？

2、两门高炮同时向一架靶机射击，每门高炮击中靶机的概率都是0.8，计算：

（1）靶机没被击中的概率；

（2）靶机被击中一炮的概率；

（3）靶机被集中两炮的概率。

3、设事件A、B独立，，求。

4、在某段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内

（1）甲、乙两地都下雨的概率；

（2）甲、乙两地都不下雨的概率；

（3）其中至少有一个地方下雨的概率.