高中湘教版（2019）3.4 复数的三角表示教案设计

复数的三角表示

【教学目标】

1．了解的几何意义，了解的几何意义就是将复数对应的平面向量旋转90°；了解复数的三角表示，能够把复数的代数形式化为三角形式；了解复数的三角形式的乘法运算和除法运算，了解复数的三角形式的乘法运算和除法运算的几何意义．

2．通过对的几何意义的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过复数的三角表示、复数乘法和除法运算的三角表示及其几何意义的探究，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力、提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】  复数的三角表示；复数的三角形式的乘法运算和除法运算．

【教学难点】  的几何意义；复数的三角形式的乘法运算和除法运算的几何意义．

【教学方法】  教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学抽象，逻辑推理，数学运算．

【教学过程】

第1课时

一、创设情境，引入课题

课前布置任务：

如图，设平面向量，对应复数，则，对应复数.由于，因此可由绕起点逆时针旋转180°得到．

由可知，从旋转的角度，你认为乘复数的几何意义是什么？

预案：由可知，乘复数的几何意义是将复数对应的向量绕起点逆时针旋转180°变成．

〖设计意图〗通过问题的引入，激发学生学习的兴趣，为的几何意义做铺垫．

二、实例探索，归纳规律

1．的几何意义

问题1：由可知，乘复数的几何意义是将复数对应的向量绕起点旋转180°变成．将连乘两个得到就是将向量连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到. 乘复数的几何意义是什么？

预案：乘复数的几何意义是将复数z对应的向量旋转两个180°，也就是360°．

问题2：乘复数的几何意义是将复数z对应的向量旋转360°；

乘复数的几何意义是将复数对应的向量绕起点旋转180°；

猜测：（即的平方根）乘的几何意义是什么？

预案：（即的平方根）乘的几何意义应该是将复数对应的向量绕起点旋转90°．

问题3：你能证明当复数是实数或纯虚数时，乘的几何意义吗？

预案：如图, 将正实数对应的向量将依次旋转90°，旋转四次，则依次得到向量，向量，向量，向量．而向量，向量，向量，向量，对应的复数依次是，，,．于是，我们发现向量每旋转90°，其所对应的复数就相应乘．

问题4：若复数，你能证明复数乘的几何意义吗？

预案：复平面上的点P表示复数，设向量，分别表示，， 由知向量，是矩形OAPB的对角线．将矩形OAPB绕原点O旋转90°，则向量，向量分别变成向量，向量，矩形OAPB变成矩形．

向量，向量所对应的复数应分别由向量，向量所对应的复数乘得到，即向量对应的复数为， 对应的复数为．因此，矩形的对角线表示的向量，所对应的复数为

向量旋转90°得到向量，对应的复数为 ，也就是说向量的对应的复数由向量对应的复数乘得到．

由此可得，虚数单位乘任意复数的几何意义是：将复数对应的平面向量旋转90°．

问题5：你能从旋转的角度得到的几何意义吗？

预案：从旋转的角度我们可以得到的几何意义是：将复数对应的平面向量依次旋转两次90°得到的平面向量对应的复数是．也可以这么理解为：将复数对应的平面向量旋转90°得到的平面向量对应的复数是．

〖设计意图〗让学生经历归纳—猜想——证明的数学问题的发现过程，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．

2．旋转任意角

问题6：把复数对应的向量旋转90°得到的向量对应的复数是，

把复数对应的向量旋转180°得到的向量对应的复数是，那么把复数对应的向量旋转任意角得到的向量对应的复数是什么呢？

预案：如图把复数对应的向量旋转角得到，把旋转90°得到，

,方向上的单位向量分别为，，由平面向量基本定理可知，，设，，，，

由三角函数的定义可知，，，即，，

所以．

所以 对应的复数为可看作是由乘得到．

所以复数对应的向量旋转任意角得到的向量对应的复数是．

问题7：乘的几何意义是什么？

预案：乘的几何意义是将复数对应的平面向量旋转角．

〖设计意图〗让学生经历提出问题——分析问题——解决问题过程，体验研究数学问题的方法，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．

三、学以致用，深化规律

例题1：将平面直角坐标系中任意点绕原点旋转90°得到，求的

坐标．

预案：因为点对应的复数为，所以将点绕原点旋转90°得到对应的复数为，因此点的坐标．

〖设计意图〗通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．培养学生合作、交流和表达能力，培养学生逻辑推理的数学素养．

例题2：根据乘的几何意义计算：

（1）；（2）．

预案：（1），因为用乘任意复数，其几何意义是将对应的向量旋转45°，所以用 乘的几何意义是将对应的向量连续旋转两个45°，也就是将对应的向量旋转90°，又由虚数单位乘任意复数的几何意义可知，

，即．

（2），因为用乘任意复数，其几何意义是将对应的向量旋转120°，所以用 乘的几何意义是将对应的向量连续旋转三个120°，也就是将对应的向量旋转360°，因而

，即．

〖设计意图〗通过实例，让学生体验乘任意复数的几何意义的应用．培养学生合作、交流和表达能力，培养学生逻辑推理的数学素养．

练习：将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．

预案：（1），

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 知识探究过程：归纳—猜想—证明．

(2) 方法：乘的几何意义是将复数对应的平面向量旋转角．

(3) 数学思想方法和思维方法：等价转化．

2．作业

课后探究：

根据乘的几何意义计算：

（1）；（2）．

第2课时

一、创设情境，引入课题

课前布置任务：

    我们已经知道用复数乘复数，就是把复数对应的平面向量旋转任意角.怎样的复数能够写成的形式呢?

〖设计意图〗通过问题的引入，激发学生学习的兴趣，为引入复数的三角形式做铺垫．

二、实例探索，归纳规律

1．复数的三角表示

问题1：如图，复数在复平面内用向量表示. 我们把以x轴的正半轴为始边，以为终边的角，称为复数的辐角，记作.

若是的一个辐角，则的全部辐角可以如何表示？

预案：若是的一个辐角，全部辐角可以表示为.

问题2：复数，设，根据三角函数的定义，，如何表示？你能把复数用，表示吗？

预案：复数，设，根据三角函数的定义，，，即，，因而

．

问题3：我们把叫做复数的三角形式．其中为复数的模，为复数的一个辐角．叫做复数的代数形式．

当时，能表示为形式吗？

预案：特别地当时，显然，此时辐角可以取任意值，因此复数也可以有形式．

〖设计意图〗让学生经历归纳—猜想——证明的数学问题的发现过程，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．

2．复数的三角形式的运算

问题4：设复数，复数，从旋转的角度你能得到的几何意义吗？

预案：画出,对应的向量，，乘 可分两步实现：

首先,用乘,得到,对应的向量 由对应的向量 旋转角得到,此时模，辐角．

然后,用乘得到，对应的向量由对应的向量乘实数而伸缩得到，此时模，辐角．

由此得复数与的乘法公式：

．

上式表明，两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和．

问题5：设复数，复数，利用复数的乘法法则你能得到的乘法公式吗？

预案：

根据两角和的正弦和余弦公式，有

．

问题6：我们知道，除法是乘法的逆运算，设复数，复数，你能根据复数的三角形式乘法公式得到复数除法公式吗？

预案：设，所以，又因为，，根据复数相等的条件，有，因此，．

复数，的除法公式：

．

问题7：复数，，你能根据复数的除法法则得到复数三角形式的除法公式吗？

预案：

根据两角差的正弦和余弦公式，有

．

上式表明，两个复数相除（除数不为0），商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差．

问题8：复数，，，…，其中，利用复数的三角形式的乘法法则你能得到的乘法公式吗？

预案：．

问题9：复数，利用复数的三角形式的乘法法则你能得到()的公式吗？

预案：．

〖设计意图〗让学生经历提出问题——分析问题——解决问题过程，体验研究数学问题的方法，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．

三、学以致用，深化规律

例题1：把复数化为三角形式．

预案：如图，复数对应的点在第二象限，因而

，，所以辐角，，

由于复数的辐角不是唯一的，因而复数的的三角形式也不是唯一的，

所以当时，复数的三角形式为．

所以当时，复数的三角形式为．

所以当时，复数的三角形式为．

……

你能总结把复数的代数形式化为三角形式的步骤吗？

预案：①确定对应的点所在的象限；②计算；③由和点所在象限确定辐角的值（不唯一，它们之间相差的整数倍）；

④写出复数的三角形式．

例题2：计算：．

预案：因为，

所以．

〖设计意图〗通过实例，让学生体验复数的三角形式的乘法公式的应用．培养学生合作、交流和表达能力，培养学生逻辑推理和数学运算的数学素养．

例题3：计算：．

预案：

．

〖设计意图〗通过实例，让学生体验复数的三角形式的除法公式的应用．培养学生合作、交流和表达能力，培养学生逻辑推理和数学运算的数学素养．

例题4：解方程，并将其所有的根用复平面上的点表示，观察以这些点为顶点的多边形是什么形状．

预案1：方程可化为，方程左边分解因式：，所以原方程可化为，即或，

当时，；

当时，，．

所以方程的三个根为，，．

在复平面上画出表示这三个根的点,,,如图所示．

观察发现，以这三点为顶点的△是以原点为圆心的单位圆的内接正三角形，三个顶点等分圆周．

预案2：设， ，

因为相等的复数的模相等，其辐角可以相差2的整数倍．

所以,即

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

由于正弦、余弦函数的周期都是2π，所以当取时，又会重复出現取时的结果．

所以方程的三个根为，，．

在复平面上画出表示这三个根的点,,,如图所示．

观察发现，以这三点为顶点的△是以原点为圆心的单位圆的内接正三角形，三个顶点等分圆周．

〖设计意图〗通过实例，让学生体验求复数的三次方根的过程．培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生逻辑推理和数学运算的数学素养．

练习：1.把化为三角形式．

预案如图，复数对应的点在第四象限，因而

，，辐角，，

由于复数的辐角不是唯一的，因而复数的的三角形式也不是唯一的，

所以当时，复数的三角形式为．

所以当时，复数的三角形式为．

所以当时，复数的三角形式为．

……

2. 计算：．

预案：

．

3. 计算：．

预案：

．

4. 计算：．

预案：因为，

所以

．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 知识探究过程：归纳—猜想—证明．

(2) 方法：把复数的代数形式化为三角形式的方法；复数的三角形式的乘法公式和除法公式．

(3) 数学思想方法和思维方法：等价转化．

2．作业

课后探究：设是复数的n ()次方根，探究与，与的关系．