2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.2.2 第1课时　函数的奇偶性

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.2.2 第1课时　函数的奇偶性，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a＝( C )
A.－1 B.0
C.1 D.无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
2．设函数f(x)＝eq \f(2,x＋1)，则下列函数中为奇函数的是( D )
A.f(x)＋1 B.f(x＋1)
C.f(x)－1 D.f(x－1)
解析：因为f(x)＝eq \f(2,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(2,x＋1)＋1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故A错误；f(x＋1)＝eq \f(2,x＋1＋1)＝eq \f(2,x＋2)，定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，定义域不关于原点对称，故B错误；f(x)－1＝eq \f(2,x＋1)－1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故C错误；f(x－1)＝eq \f(2,x－1＋1)＝eq \f(2,x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，为奇函数，故D正确．故选D．
3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( C )
A.f(x)f(－x)是奇函数
B.f(x)|f(－x)|是奇函数
C.f(x)－f(－x)是奇函数
D.f(x)＋f(－x)是奇函数
解析：设F(x)＝f(x)f(－x)，F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，则f(x)f(－x)为偶函数，A错误；设G(x)＝f(x)•|f(－x)|，则G(－x)＝f(－x)•|f(x)|，G(x)与G(－x)关系不定，即不能确定f(x)·|f(－x)|的奇偶性，B错误；设M(x)＝f(x)－f(－x)，则M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)，则f(x)－f(－x)为奇函数，C正确；设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)＝N(x)，则f(x)＋f(－x)为偶函数，D错误．故选C．
4．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为( C )
A.0 B.－1
C.1 D.2
解析：∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得a＝1.
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( A )
A.－2 B.2
C.1 D.0
解析：f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.
二、多项选择题
6．下列命题正确的是( CD )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0
D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
解析：函数f(x)＝eq \f(1,x2)是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正确；函数f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确；由奇偶性的定义知C，D正确．
7．对于定义在R上的函数f(x)，则下列判断正确的是( BD )
A.若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
B.若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数
C.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)是R上的单调增函数
D.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)不是R上的单调减函数
解析：若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，则可知满足f(2)≠f(－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；若f(x)＝x2，则f(2)＝4，f(1)＝1，故f(2)＞f(1)，但函数f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故C错误；因为2＞1，f(2)＞f(1)，所以f(x)不是R上的单调减函数，故D正确．
三、 填空题
8．已知函数f(x)是定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是[－3，－1)∪(1，3]．
解析：因为当09．已知g(x)＝f(x)＋|x－1|是奇函数，且f(－1)＝1，则g(1)＝－3.
解析：因为函数g(x)＝f(x)＋|x－1|是奇函数，且f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋|－1－1|＝1＋2＝3，故g(1)＝－g(－1)＝－3.
10．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 022x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为0.
解析：∵f(x)＝2 022x3－5x＋b＋2为定义在[a－4，2a－2]上的奇函数．∴a－4＋(2a－2)＝0，且f(0)＝b＋2＝0，解得a＝2，b＝－2.所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
四、解答题
11．设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)∵y＝f(x)对任意非零实数x1，x2，
恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，代入得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0，
令x1＝x2＝－1, 代入得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，可得f(－1)＝0.
(2)取x1＝－1，x2＝x，代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(－x)＝f(x)，
又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴函数f(x)是偶函数．
12．已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值．
解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝eq \f(k2,x)(k1，k2≠0)，则1＝f(1)＝k1，2＝g(1)＝k2，
∴f(x)＝x，g(x)＝eq \f(2,x).
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋eq \f(2,x)，
则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又h(－x)＝－x＋eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))＝－h(x)，
∴f(x)＋g(x)为奇函数．
(3)∵当x∈(0，2)时，f(x)＋g(x)＝x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(x•\f(2,x))＝2eq \r(2)，
当且仅当x＝eq \f(2,x)，即x＝eq \r(2)∈(0，2)时等号成立，故f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值为2eq \r(2).
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x)，x≥0，,g(x)，x<0))是定义在R上的奇函数，则g(x)＝( D )
A.eq \r(x) B．－eq \r(x)
C.eq \r(－x) D．－eq \r(－x)
解析：由于f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x)，x≥0，,g(x)，x<0.))当x<0时，－x>0，此时f(x)＝g(x)，且f(－x)＝eq \r(－x).又f(x)是定义在R上的奇函数．所以当x<0时，g(x)＝f(x)＝－f(－x)＝－eq \r(－x).
14．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是0.
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在y轴左侧，另两个在y右侧，所以四个实根的和为0.
15．已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，φ(x)＝eq \f(f(x)－1,f(x)＋1)在R上恒成立，且对任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)f(n)．
(1)求f(0)的值，并证明φ(x)为奇函数；
(2)当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，证明f(x)为R上的增函数，并解不等式φ(x)>eq \f(15,17).
解：(1)令m＝n＝0，得f(0)＝f(0)f(0)，
又函数f(x)的值域为(0，＋∞)，
∴f(0)＝1.
证明：∵f(0)＝f(－x＋x)＝f(－x)f(x)，
∴f(－x)＝eq \f(1,f(x))，
∴φ(－x)＝eq \f(f(－x)－1,f(－x)＋1)＝
eq \f(\f(1,f(x))－1,\f(1,f(x))＋1)＝eq \f(1－f(x),1＋f(x))＝－φ(x)，
∴φ(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)f(x1)＝f(x1)[1－f(x2－x1)]．
∵x10，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1，∴1－f(x2－x1)<0，
又函数f(x)的值域为(0，＋∞)，
∴f(x1)[1－f(x2－x1)]<0，得f(x1)∴f(x)为R上的增函数．
由φ(x)>eq \f(15,17)，得eq \f(f(x)－1,f(x)＋1)>eq \f(15,17)，化简得f(x)>16，
∵f(3)＝4，∴16＝f(3)f(3)＝f(6)．
又f(x)为R上的增函数，∴x>6.
故φ(x)>eq \f(15,17)的解集为{x|x>6}．