人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试练习题

第四章指数函数与对数函数基础检测题

一、单选题

1．下列函数中与函数值域相同的是（    ）

A． B．

C． D．

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，函数的图象与轴交于，，，四点，则不能用二分法求出的的零点是（    ）

A． B． C． D．

4．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数的零点位于区间，上，则（    ）

A． B． C． D．

7．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ）

A． B．

C． D．

8．的值是（    ）

A．－5 B．5 C． D．－

9．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

10．函数恒过定点（    ）

A．  B．

C． D．

11．设x，y是实数，则“，且”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

12．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．___________；

14．若函数值有正有负，则实数a的取值范围为__________

15．的零点为________．

16．已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．

三、解答题

17．求值：（1）；

（2）．

18．已知关于的方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值．

19．已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0，且a≠1).

(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；

(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.

20．已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明在其定义域上的单调性.

21．已知函数．

（1）当是偶函数时，求a的值并求函数的值域．

（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．

22．某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量（单位：吨）与销售价格（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．

（1）写出月销售量关于销售价格的函数关系：

（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．

参考答案

1．D

【分析】

依次求出选项中函数的值域，即可判断.

【详解】

，的值域为，

对于A，的值域为R，故A错误；

对于B，，的值域为，故B错误；

对于C，的值域为，故C错误；

对于D，，值域是，故D正确.

故选：D.

2．C

【分析】

由函数解析式可得，解出即可.

【详解】

要使函数有意义，

则，解得，

故的定义域为.

故选：C.

3．B

【分析】

看图寻找零点中左右符号一致的即得结果.

【详解】

由图象可知，在附近，函数均大于0，故不能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求解.

故选：B.

4．D

【分析】

由，而，即可得解.

【详解】

，

，

，

所以，

故选：D.

5．C

【分析】

计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断.

【详解】

，

，，

，，

根据零点存在性定理可得一定包含零点的区间是.

故选：C.

6．D

【分析】

利用零点存在定理求得整数的值，进而可求得的值.

【详解】

易知函数单调递减，又因为，，

由零点存在定理可知，函数的零点在区间内，则.

所以．

故选：D.

【点睛】

本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.

7．B

【分析】

利用函数是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数的图象是正确的，从而可得的范围，进而可得指数函数的图象

【详解】

解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；

对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；

对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，

故选：B

8．C

【分析】

直接利用求解.

【详解】

故选：C

9．C

【分析】

利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可

【详解】

解：令，则，

因为在上单调递增，在上单调递减，

在定义域内为减函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故选：C

10．B

【分析】

根据指数函数的性质可知，即可求解.

【详解】

由题意知：，即，

此时，

所以函数恒过定点，

故选：B

11．A

【分析】

首先判断“，且”能否推出 “；再判断

能否推出“，且”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】

若“，且”,则，，

所以“，且”是“充分条件；

若，则，可得，但得不出“，且”，如，可得，所以

得不出“，且”，

所以“，且”是“充分不必要条件；

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.

12．A

【分析】

由函数的性质结合图象的特征逐项排除即可得解.

【详解】

当时，，，故排除B、C；

当时，，，故排除D.

故选：A.

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

13．2

【分析】

直接利用指数幂以及对数的运算法则化简即可，解答过程注意避免出现计算错误.

【详解】

故答案为：2

14．

【分析】

先考虑的情况，再考虑 时，由求解.

【详解】

当时，，不成立；

当时，，即，

解得，

故答案为：

15．

【分析】

解方程，即可得出答案.

【详解】

令，则或，解得

故答案为：

16．

【分析】

由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得，即可得解.

【详解】

因为函数是上的增函数，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

17．（1）；（2）5．

【分析】

（1）利用指数幂的运算法则计算即得解；

（2）利用对数的运算法则化简计算即得解.

【详解】

（1）原式＝；

（2）原式＝.

【点睛】

本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．（1）；（2）－3．

【分析】

（1）依题意，得，解出即可；

（2）由韦达定理得，，，再根据第一问的结论代入即可求出答案．

【详解】

解：（1）依题意，得，解得，

∴的取值范围是；

（2）由韦达定理得，，，

由得，，

∴由得，，

即，即，

解得，或（舍），

∴．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，属于基础题．

19．（1）.（2）见解析.

【分析】

(1) 函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为f(x)＝和 g(x)＝定义域的交集，列出方程组求解即可. (2) f(x)≤g(x)，即为，对，两种情况分类讨论，即可求出x的取值范围.

【详解】

解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.

(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.

当时，，解得：，所以x的取值范围为.

当时，，解得：，所以x的取值范围为.

综上可得：当时，x的取值范围为.

当时，x的取值范围为.

【点睛】

本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，考查分类讨论的思想，属于基础题.

20．（1）详见解答；（2）详见解答.

【分析】

（1）求出判断与的关系，即可得出结论；

（2）将分离常数，任取，用作差法比较大小，即可得出结论.

【详解】

（1）的定义域为实数集，

，

所以是奇函数；

（2），设，

，

，

所以在实数集上增函数.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题.

21．（1），值域为；（2）

【分析】

（1）根据偶函数的性质，可得恒成立，从而可建立等式关系，进而求出的值；由，可得，即可得到函数的值域；

（2）根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，且时，，进而可得到，求解即可.

【详解】

（1）由是偶函数可得，

即，则，

即恒成立，所以.

经验证，时，为上的偶函数，符合题意.

因为，所以，

故函数的值域是.

（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，

所以在上单调递增，且时，，

根据二次函数的性质，可得，解得.

22．（1）；（2）定价9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元.

【分析】

（1）利用待定系数法及分段函数即可得解；

（2）根据月利润，将第一问的分段函数代入即可得最值.

【详解】

（1）当时，设，

则，解得，

所以，

同理可得，当时，，

则.

（2）月利润，

由（1）可得，

即，

所以当时，取得最大值6，

所以该商品每吨定价9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元.