语文版（中职）基础模块下册第七单元 数列7.1 数列的概念教学设计

7.1数列的概念

一、学习目标：

理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解与的关系，培养观察能力和化归能力．

二、自主学习：

1.数列、、2、…，则2是该数列的( B )

A．第6项       B．第7项      C．第10项     D．第11项

2．已知，则．

3．在数列中，且，则．

【考点梳理】

1．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

  (数列的前n项的和为).

2．求数列的通项公式的方法（未完，待续）

方法1——观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明；

方法2——由an与Sn的关系求通项公式。

方法3——归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。

方法4——递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

3．数列与函数的关系：

研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.

1）判定数列{an}的单调性考查的是an＋1与an的大小关系.

2）待定系数法：

解读：1）比差法或比商法。

2）使用待定系数法的一般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。

三、合作探究：

题型1   归纳（从特殊到一般）、猜想、证明的思想方法——科学研究的思维方法

例1   已知数列中求数列的通项公式。

解法1：由得……    猜想：

再由数学归纳法进行证明：

①等式成立

②假设时等式成立，即

那么

即时等式也成立

综合①②对任意都有成立。

解法2：          

变式训练1  已知数列{}中=1，(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明你的猜想。   答案：（1）略；（2），证明略。

小结与拓展：有的数列用一般方法不易求出通项公式，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。“归纳——猜想——证明”的思想方法是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。归纳猜想是探索发现真理的重要手段。

题型2   周期数列

例2   数列{an}中，a1＝3，an－anan＋1＝1(n＝1,2，…)，An表示数列{an}的前n项之积，则求A2005。

解：可求出a1＝3，a2＝，a3＝－，a4＝3，a5＝，a6＝－，…，数列{an}每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a1×a2×a3＝－1，则

A2005＝(a1×a2×a3)…(a2002×a2003×a2004)×a2005

＝(a1×a2×a3)668a1＝3.

变式训练1   在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000＝( D )

A．5         B．－5         C．1        D．－1

解：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1000＝－1.

小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）。

题型3   数列与函数、方程的融合——单调性等

例3   已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．

解：

得

变式训练3   已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是 ( B )

A．an＞an＋1                                    B．an＜an＋1

C．an＝an＋1                   D．与n的取值有关

解：＝÷＝＝＜1，   ∵an＋1＞0，∴an＜an＋1.

变式训练4（待定系数法）  已知数列{}满足=1，=c＋b,且=3,=15,求常数b、c的值。         答案：b、c分别为6、-3或1、2.

小结与拓展：把an看成关于n的函数，其图象是离散的点。可用研究函数的方法研究数列，数列也具有它的定义域、值域、单调性与周期性等。同样Sn也是这样。

四、课堂总结：（以学生为主，师生共同完成）

1．递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项和Sn之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和an的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.

2．重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.

五、检测巩固：

 1． 求下面各数列的一个通项：

；

数列的前项的和 ；

数列的前项和为不等于的常数) ．

解：（1）．

（2）当时 ， 当时 ，显然不适合

∴．

（3）由可得当时，，

∴，∴ ∵  ∴，∵，

∴是公比为的等比数列．

又当时，，∴，∴．

2．根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：

（1）；

（2）；

（3）．

解：（1），∴，

∴

（2），∴ =．

又解：由题意，对一切自然数成立，

∴，∴．

（3）是首项为

公比为的等比数列，．

说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；

（2）若数列满足，则数列是公比为的等比数列．

3．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，

写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；

令，求．

解：（1）由题意：   ，令，，解得

令，，  解得

令，，  解得

∴该数列的前三项为

（2）∵，∴，由此，

∴，整理得：

由题意：，∴，即，

∴数列为等差数列，其中公差，∴

（3）

∴．