语文版（中职）基础模块下册7.3 等比数列教学设计

7.3　等比数列

1．等比数列：一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．等比数列的通项公式为an＝______.

2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且G＝______.显然，只有同号的两个数才有等比中项．

3．对于等比数列{an}，当公比q≠1时，若已知首项a1和项数n，求其前n项和时，可用公式Sn＝________进行求和；若已知首项a1和末项an，求其前n项和时，可用公式Sn＝________进行求和．当公比q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，此时Sn＝____.

4．等比数列有以下常用性质：

（1）通项公式的推广：an＝amqn－m（m，n∈N*）．

（2）对于等比数列{an}，若m，n，k，l∈N*，且m＋n＝k＋l，则am·an＝ak·al，特别地，若m＋n＝2p，则__________．在使用该性质时，不仅要注意等式两边下标和相等，还要注意等式两边作积的项的个数必须一样多．

（3）若数列{an}是公比为q的等比数列，Sn（Sn≠0）为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为______．

5．若等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞1，或首项a1＜0，公比0＜q＜1，数列{an}为________；若首项a1＞0，公比0＜q＜1，或首项a1＜0，公比q＞1，数列{an}为_______；若公比q＝1，数列{an}为______；若q＜0，数列{an}为_______．

1．在等比数列{an}中，a2 012＝8a2 009，则公比q的值为（　　）．

A．2            B．3       C．4          D．8

2．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝（　　）．

A．4          B．8        C．16          D．32

3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝2，则a1＝（　　）．

A．1         B.        C．－        D．2

4．（2010·广东高考）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（　　）．

A．35          B．33 

C．31          D．29

5．（2010·山东高考）设{an}是首项大于0的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（　　）．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

一、等比数列的基本运算

【例1】 设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．

等比数列的基本量是首项a1和公比q，建立关于它们的方程可确定等比数列，这也是方程思想的具体体现．

二、等比数列的判断与证明

【例2】 （12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

（1）设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明：由a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，      1分

∴a2＝3a1＋2＝5，b1＝a2－2a1＝3.         3分

∵Sn＋1＝4an＋2，　　　　　　　①

∴当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2.  ②           4分

①－②得an＋1＝4an－4an－1，

∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）.             6分

又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.

∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.         8分

（2）解：由（1）可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

∴－＝，           9分

∴数列{}是首项为，公差为的等差数列.         10分

∴＝＋（n－1）×＝n－.

∴an＝（3n－1）·2n－2                         .12分

对于含有数列{an}的相邻三项（即an－1，an，an＋1）的递推式，通常将kan＋man＋1（k，m是常数）视为一个整体，把它配凑成两项递推的形式，再进一步求数列{an}的通项公式；有时，待求的结论往往告诉我们需要配凑的形式，要注意识别．

跟踪训练 在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为dk.若dk＝2k，求证a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列（k∈N*）．

三、等比数列的性质

【例3】 在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.

等比数列{an}的两个基本量（首项a1和公比q）具有“消元”之功效，利用它们可以表示出数列中的任意项．有时利用通项公式的变形公式an＝amqn－m（m，n∈N*）会更有利于题目的化简．

四、等比数列的综合应用

【例4】 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

（1）求证数列{an－n}是等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

对于形如an＋1＝kan＋b（k，b是常数，且k≠0，k≠1）的递推公式，可通过以下方式转化为等比数列求解：

∵an＋1＝kan＋b，∴an＋1＋x＝kan＋b＋x＝k（an＋）．令x＝，得x＝.于是数列{an＋}就是首项为a1＋，公比为k的等比数列了．对于形如an＋1＝kan＋f（n）（k是常数，且k≠0，k≠1）的递推公式，可通过适当的变形得到一个新的以k为公比的等比数列，从而求得它的通项公式．

1．判定数列为等比数列的常见方法：

（1）定义法：＝q（q是不等于0的常数，n∈N*）数列{an}是等比数列；也可用＝q（q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2）数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．

（2）等比中项公式法：a＝an·an＋2（an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*）数列{an}是等比数列．

2．解决与等比数列有关问题的常见思想方法：

（1）函数思想：在等比数列{an}中，an＝·qn，它的各项是函数y＝·qx图象上的一系列孤立的点．

（2）方程思想：准确分析a1，q，an，Sn，n之间的关系，通过列方程（组）可做到“知三求二”．

（3）分类讨论思想：无论是等比数列的前n项和公式的给出，还是等比数列单调性的划分都体现了分类讨论思想的具体运用．

（4）类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．

（5）整体思想：等比数列{an}的前n项和公式Sn＝＝－·qn（q≠1），常把视为一个整体，其前n项和公式可写成Sn＝k－kqn，k＝（q≠1）的形式，这对于解答选择题、填空题是很有帮助的．

1．无论用什么方法判断或证明一个数列是等比数列，都必须注意检验一个数列为等比数列的必要条件，即各项不为0是否成立．

2．在利用等比数列的前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．否则，会产生错解．

参考答案

梳理与整合

知识梳理

1．第2项　a1qn－1

2．±

3.　　na1

4．(2) 　(3)qn

5．递增数列　递减数列　常数列　摆动数列

基础自测

1．A　2.C　3.B　4.C　5.C

探究与突破

【例1】 　解：由题设知a1≠0，Sn＝，

所以

由②式得1－q4＝5(1－q2)，

即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.

因为q＜1，所以q＝－1，或q＝－2.

当q＝－1时，代入①式得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；

当q＝－2时，代入①式得a1＝，通项公式an＝×(－2)n－1.

跟踪训练　证明：由题设知，a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.

所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)．

由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，

从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，a2k＋2＝2(k＋1)2.

于是，＝，＝，

所以＝.

所以dk＝2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列．

【例3】 　解法一：设其公比为q，

∵a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，

∴a1q2＋a1q5＝36，①

a1q3＋a1q6＝18.②

②除以①得q＝.

将q＝代入①得，a1＋a1＝36，

∴a1＝128.

而an＝a1qn－1，∴＝128×()n－1，

∴n＝9.

解法二：设其公比为q，

∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，

∴q＝＝＝.

而a3＋a6＝a3(1＋q3)，

∴a3＝＝＝32.

∵an＝a3qn－3，∴＝32×()n－3，

∴n＝9.

【例4】 　(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得

an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.

又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．

(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.

所以数列{an}的前n项和Sn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)＝＋.