人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第1课时测试题

第二章　2.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．下列不等式中正确的是(　D　)

A．a＋≥4　　　　 B．a2＋b2≥4ab

C．≥ D．x2＋≥2

[解析]　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(　B　)

A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

[解析]　因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．

3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　D　)

A．10 B．25

C．5 D．2

[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．

4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．

5．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　B　)

A． B．b

C．2ab D．a2＋b2

[解析]　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.

∵>>0，a＋b＝1，

∴>，∴a2＋b2>.

∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2

＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．

6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为(　D　)

A．A≤B≤C B．A≤C≤B

C．B≤C≤A D．C≤B≤A

[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．

二、填空题

7．若a<1，则a＋与－1的大小关系是__a＋≤－1__.

[解析]　因为a<1，即a－1<0，

所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1.

8．已知a>b>c，则与的大小关系是__≤__.

[解析]　因为a>b>c，

所以a－b>0，b－c>0.

≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.

9．设x>0，则的最小值为__2－1__.

[解析]　由x>0，可得x＋1>1.

令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．

三、解答题

10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？

[解析]　x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．

∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.

11．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2)<.

[证明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，

∴＋≥2＝2，∴＋≥2.

由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．

∴＋>2.

(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，

∴<，

∴<.

B组·素养提升

一、选择题

1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(　B　)

A． B．2

C． D．5

[解析]　∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，

∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋≥＋2·＝5，

当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，

∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B．

2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)．

因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝(当且仅当＝，即x＝时，等号成立)．故x＋y的最小值为.

3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　ABC　)

A．ab<1 B．1<

C．ab< D．<ab

[解析]　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，

又∵>，a＋b＝2，

∴>1，∴ab<1<.

4．(多选题)下列结论正确的是(　AD　)

A．当x>0时，＋≥2

B．当x>2时，x＋的最小值是2

C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5

D．当x>0，y>0时，＋≥2

[解析]　在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．

二、填空题

5．已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是____.

[解析]　∵x＋3y≥2，

∴2≤1，即xy≤，

等号成立的条件为x＝3y＝，即x＝，y＝.

6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__.

[解析]　∵a>0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，

∴＝3，解得a＝18.

7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为__8＋4__.

[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最小值．

三、解答题

8．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

(1)ab＋bc＋ac≤；

(2)＋＋≥1.

[证明]　证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)，

即＋＋≥a＋b＋c.

又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1.

9．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．

[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝2，

令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，

∴a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，

∴＋＝＋

＝m＋n－4＋＋＝≥＝1，

∴m≤1，所以实数m的最大值为1.