2020-2021学年5.5 三角恒等变换第3课时导学案

这是一份2020-2021学年5.5 三角恒等变换第3课时导学案，共6页。
[重点] 记住并会应用两角和与差的正切公式．
[难点] 灵活运用公式进行求值、化简、证明．
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填]
两角和与差的正切公式
[答一答]
1．你能总结出公式T(α±β)的结构特征和符号规律吗？
提示：(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．taneq \f(π,12)＝2－eq \r(3).
解析：taneq \f(π,12)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝2－eq \r(3).

类型一 公式的简单应用
[例1] 求下列各式的值：
(1)taneq \f(11π,12)；
(2)eq \f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°).
[解] (1)原式＝－taneq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝－2＋eq \r(3).
(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq \r(3).
公式Tα±β只有在α≠eq \a\vs4\al(\f(π,2))＋kπ，β≠eq \a\vs4\al(\f(π,2))＋kπ，α±β≠eq \a\vs4\al(\f(π,2))＋kπk∈Z时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的.
[变式训练1] 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
(1)求tanα的值；
(2)求eq \f(1,2sinαcsα＋cs2α)的值；
(3)求2α－β的值．
解：(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝2，得tanα＝eq \f(1,3).
(2)eq \f(1,2sinαcsα＋cs2α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,2sinαcsα＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋1,2tanα＋1)＝eq \f(2,3).
(3)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝1，
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
得2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，
所以2α－β＝eq \f(π,4).
类型二 公式的变形应用
[例2] (1)化简：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝4，求α＋β.
[分析] (1)的求解可利用23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将tan(23°＋37°)展开变形求解，(2)的求解需将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan(α＋β)．
[解析] (1)∵tan(23°＋37°)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°).
∴eq \r(3)－eq \r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.
∴tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
(2)∵(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)
＝1＋eq \r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，
∴tanα＋tanβ＝eq \r(3)(1－tanαtanβ)．
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \r(3).
又∵α，β均为锐角，∴0