2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题九 新定义问题

这是一份2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题九 新定义问题，共43页。PPT课件主要包含了专题训练，°或270°，P1P2∥P3P4，理即可等内容，欢迎下载使用。
专题九　新定义问题
1.（2020遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2＋ b2x＋c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则这 两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2－3x＋1的旋转函数，小明是这样思 考的，由函数y＝2x2－3x＋1可知，a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根据a1＋a2＝0， b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2－4x＋3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2＋（m－1）x＋n与y＝－5x2－nx－3互为旋转函数，求 （m＋n）2 020的值．（3）已知函数y＝2（x－1）（x＋3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、 B1、C1的二次函数与y＝2（x－1）（x＋3）互为“旋转函数”．
（1）解：由函数y＝x2－4x＋3可知，a1＝1，b1＝－4，c1＝3，∵a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴a2＝－1，b2＝－4，c2＝－3，∴函数y＝x2－4x＋3的“旋转函数”为y＝－x2－4x－3；（2）解：∵y＝5x2＋（m－1）x＋n与y＝－5x2－nx－3互为“旋转函数”，∴ ，解得 ，∴（m＋n）2 020＝（－2＋3）2 020＝1；
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x－1）（x＋3）＝－6，∴点C的坐标为（0，－6）.当y＝0时，2（x－1）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（－3，0）.∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（－1，0），B1（3，0），C1（0，6）.设过点A1，B1，C1的二次函数表达式为y＝a（x＋1）（x－3）（a≠0），将C1（0，6）代入y＝a（x＋1）（x－3），得6＝－3a，解得a＝－2，
过点A1，B1，C1的二次函数表达式为y＝－2（x＋1）（x－3），即y＝－2x2＋4x＋6.∵y＝2（x－1）（x＋3）＝2x2＋4x－6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝－6，a2＝－2，b2＝4，c2＝6，∴a1＋a2＝2＋（－2）＝0，b1＝b2＝4，c1＋c2＝6＋（－6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x－1）（x＋3）互为“旋转函数”．
2.（2020咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫作对余四边形．
理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ；证明：（2）如图①，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D. 求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图②，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD， CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（1）解：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM＋∠BCN＝90°，即∠BAD＋∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：AD2＋CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如解图，由旋转性得△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB＋∠BDC＝30°，∴∠BFA＋∠ADB＝30°，∵∠FBD＋∠BFA＋∠ADB＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴60°＋30°＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴∠AFD＋∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2＋AF2＝DF2，∴AD2＋CD2＝BD2.
3.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对 称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫作一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”， 不是“H函数”的打“×”． ①y＝2x（ ）；②y＝ （m≠0）（ ）；③y＝3x－1（ ）. （2）若点A（1，m）与点B（n，－4）是关于x的“H函数”y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c 的值或取值范围；
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2＋2bx＋3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个 条件：①a＋b＋c＝0，②（2c＋b－a）（2c＋b＋3a）＜0，求该“H函数”截 x轴得到的线段长度的取值范围．
解：（1）√，√，×；（2）∵点A，B是一对“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝－1，∴A（1，4），B（－1，－4），代入y＝ax2＋bx＋c（a≠0），得 ，解得 ，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴ ＞2，∴ ＞2，∴－1＜a＜0，∵a＋c＝0，∴0＜c＜1，综上所述，－1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1；
（3）∵y＝ax2＋2bx＋3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（－p，－q）是该函数的一对“H点”，代入得 ，解得ap2＋3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac＜0，∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，∵（2c＋b－a）（2c＋b＋3a）＜0，∴（2c－a－c－a）（2c－a－c＋3a）＜0，∴（c－2a）（c＋2a）＜0，∴c2＜4a2，∴ ＜4，
∵a，c异号，∴－2＜ ＜0，设t＝ ，则－2＜t＜0，设函数与x轴交于点（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2＋2bx＋3c＝0的两根，∴|x1－x2|＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∵－2＜t＜0，∴2＜|x1－x2|＜2 .
4.（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点， AB＝1. 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应 点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置 关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线 段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y＝ x＋2 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1， 求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2， ），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2 的取值范围．
解：（1）P1P2∥P3P4，P3.（2）如解图①，线段AB在直线y＝ x＋2 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD.令y＝0，得到直线与x轴交点为（－2，0），令x＝0，得到直线与y轴交点为（0， 2 ），∴直线与x轴的夹角为60°，∴OE＝2·sin 60°＝ .由垂径定理和勾股定理得：OF＝ ，∴d1＝OE－OF＝ ；
（3） .【解法提示】线段AB的位置变换，可以看作是以点A（2， ）为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．点A到点O的距离为AO＝ .如解图②，平移距离d2的最小值即点A到⊙O的最小值为 －1＝ ，如解图③，平移距离d2的最大值即点A到⊙O的最大值为 ＋1＝ ，∴d2的取值范围为 .
5.（2020益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的 夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边 形． 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与 BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补” 四边形，为什么？ （2）如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD ＞AB，点B到直线AD的距离为BE.
①求BE的长；②若M，N分别是AB，AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°.∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴∠EBF＋∠D＝180°，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；
（2）①过点C作CF⊥BE于点F，如解图①，则∠CFE＝90°.∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BF⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1.∵∠ABE＋∠A＝∠CBE＋∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CBF.∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF.设BE＝CF＝x，则BF＝x－1，∵CF2＋BF2＝BC2，∴x2＋（x－1）2＝52，解得x＝4，或x＝－3（舍），∴BE＝4；
②如解图②，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB，AD交于点M，N，连接MC，NC，过点G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H，则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴CM＝FM，CN＝GN，∴△MNC的周长＝CM＋MN＋CN＝FM＋MN＋GN＝FG，此时△MNC周长的值最小．∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＋∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG.
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴ .∵AB＝5，BE＝4，∴AE＝ ＝3，∴ ，∴GH＝ ，CH＝ ，∴FH＝FC＋CH＝ ，∴FG＝ ，∴△MNC周长的最小值为8 .
6.（2020宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分 线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图①，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示 ∠E； （2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O， ，四边形ABCD的外角平分线 DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是 △ABC中∠BAC的遥望角； （3）如图③，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
解：（1）∠E＝ ∠A＝ α；（2）如解图①，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°.又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC.∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE.∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC.∴BE是∠ABC的平分线．∵ ，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角；
（3）①如解图②，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC.∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC.∵∠BFC＝∠BEC＋∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE.∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD.又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°；
②如解图③，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝ ∠ABC＝45°.∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC.∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED－∠FED＝∠FAC－∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD.∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴ .∵在Rt△ABG中，AG＝ AB＝4 ，在Rt△ADE中，AE＝ AD，
∴ ，∴ .在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2＋52＝（5x）2，∴x＝ ，∴ED＝AD＝ ，∴CE＝CD＋DE＝ .∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE.∵FM⊥CE，∴EM＝ CE＝ ，∴DM＝DE－EM＝ ，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝ ，∴S△DEF＝ DE·FM＝ .
7.（2020赤峰）阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个 数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”． 材料二：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2， 则有x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ . 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ， ；
2、3、 （答案不唯一，合
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关 于x的方程bx＋c＝0（b，c均不为0）的解，求证：x1，x2，x3可以构成“和 谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m＋1，y2），C（m＋3，y3）三个点均在反比例函数 y＝ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
（1）解：2、3、 （答案不唯一，合理即可）；（2）证明：∵x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .∴ ，即 .∵x3是方程bx＋c＝0的解，∴x3＝－ ，∴ .∴ ，∴x1，x2，x3构成了“和谐三数组”．
（3）解：把A、B、C三点坐标代入y＝ 中，得y1＝ ，y2＝ ，y3＝ ，∴ ， ， .∵y1、y2、y3构成“和谐三数组”，∴ 或 或 .即 或 或 ，解得m＝2或m＝－2或m＝－4.
8.（2020怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作 BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是 垂等四边形； （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一 半．应用：在图②中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中， ∠BCD＝60°.求⊙O的半径．
（1）解：④；（2）证明：∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝90°.又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE.又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC.又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）解：如解图，过点O作OE⊥BD于E，连接OD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD.又∵垂等四边形ABCD的面积是24，∴ AC·BD＝24，解得AC＝BD＝4 .又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°.设⊙O的半径为r，在△ODE中，OD＝r，根据垂径定理可得：DE＝ BD＝2 ，∴r＝ ，∴⊙O的半径为4.