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人教版九年级上册24.3 正多边形和圆教学课件ppt
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这是一份人教版九年级上册24.3 正多边形和圆教学课件ppt,共56页。PPT课件主要包含了圆内接四边形的性质,什么叫做正多边形,正多边形的对称性,与正多边形有关的概念,亭子地基的面积S,正多边形的有关结论,正多边形的有关计算,正多边形和圆,正多边形的性质,轴对称等内容,欢迎下载使用。
1.对角互补;2.四个内角的和是360°;3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角).
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
下面这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗?为什么?菱形是正多边形吗?为什么?
不是,因为矩形不符合各边相等;
不是,因为菱形不符合各角相等.
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗?都是中心对称图形吗?
所有的正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.n为偶数时,它还是中心对称图形,它的中心就是对称中心.
以正四边形为例,根据对称轴的性质,你能得出什么结论?
EF是边AB,CD的垂直平分线,∴OA=OB,OD=OC.GH是边AD,BC的垂直平分线,∴OA=OD,OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
AC平分∠DAB及∠DCB,BD平分∠ABC及∠ADC,
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆?
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆.任意三角形都有外接圆和内切圆.任意多边形不一定有外接圆和内切圆.
1.如图所示,△AOB是正三角形,以点O为圆心,OA为半径作☉O,直径FC//AB,AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证:六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
解: ∵ △AOB是正三角形,∴ ∠AOB=∠OAB=∠OBA =60°,OB=OA,∴点B在☉O上.∵FC//AB,∴∠FOA=∠OAB=60°,∠COB=∠OBA= 60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF,
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴∴六边形ABCDEF是正六边形.
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那么这个四边形一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形 D.不能确定
解: 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆,故这个四边形是正方形.故选C.
例 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (结果保留小数点后一位).
作OP⊥BC垂足为P.
利用勾股定理,可得边心距r=
正n边形的中心角怎么计算?
正n边形的边长a,半径R,边心距r之间有什么关系?
边长为a,边心距为r的正n边形的面积如何计算?
其中l为正n边形的周长.
2.若已知正n边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项,则可求出其他各项.
1.正六边形的边长等于其外接圆的半径;正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍;正方形的边长等图其外接圆半径的 倍.
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
4.正多边形的中心角等于外角,中心角和内角互补.
2.作边心距,构造直角三角形.
1.连半径,得中心角.
圆内接正多边形的辅助线
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是( )A.4 B.5 C.6 D.7
解: 设这个正多边形为正n边形,由题意可知72n=360,解得n=5.故选B.
2.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( )A. B.2 C.2 D.2
解: 如图,连接OB,OC.∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=60°. ∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC.∵正六边形的周长是12,∴BC=2.∴⊙O的半径是2.故选B.
3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是( )A.60° B.45° C.30° D.22.5°
1.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
解:∵正三角形一条边所对的圆心角360°÷3=120°,正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°,∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.故选A.
2.已知圆的半径是2 ,则该圆的内接正六边形的面积是( )A. B. C. D.
解:如图,连接正六边形的中心与各个顶点,得到六个等边三角形,∵等边三角形的边长是2 ,∴高是3,∴等边三角形的面积是 ,∴正六边形的面积是 .
3.如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形,则∠BOM= .
解: 如图,连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB= =72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM= =120°,∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.
添加辅助线的方法:连半径,作边心距
中心、半径、边心距、中心角
1. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )
2.一个上、下底面为全等正六边形的礼盒,高为10 cm,上、下底面正六边形的边长为12 cm,如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒,所需胶带的长度至少为 cm.
在Rt∆OBC中,由勾股定理,得OC= cm,∴上、下底面每段胶带的长至少为12 cm,∴所需胶带的长度至少为6×12 +6×10=(72 +60)(cm).
2.一个上、下底面为全等正六边形的礼盒,高为10 cm,上、下底面正六边形的边长为12 cm,如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒,所需胶带的长度至少为 cm.
题图中只画出了礼盒的部分面,但是在包扎礼盒时,上底面和下底面都是需要彩色胶带的,六个侧面也需要彩色胶带.
24.3 正多边形和圆
会利用等分圆周画圆内接正多边形.
正多边形和圆有什么关系?你能借助圆画一个正多边形吗?
只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.以圆内接正五边形为例进行证明.
证明:如图,得到五边形ABCDE.∵∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B. 同理可得∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.
已知⊙O 的半径为 2 cm,画圆的内接正三角形.
度量法①:用量角器或 30°角的三角板度量,使∠1=∠2=30°.△ABC即所求.
度量法②:用量角器度量,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
度量法③:用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦,连接其中的 AB,BC,CA 即可.
例如,由于正六边形的边长等于半径,所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦,就可以把圆六等分,顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.
对于一些特殊的正多边形,还可以用圆规和直尺来作图.
再如,用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把圆四等分,从而作出正方形.
次方法简便,且可以画任意正多边形、误差小.
②用尺规等分圆:用尺规作图的方法等分圆周,然后依次连接圆上各分点得到正多边形.
这种方法有局限性,不是任意正多边形都能用此法作图,这种方法从理论上讲是一种准确方法.
用等分圆周的方法画出下列图案.
解:(1)把圆六等分,分别以六等分点A,B,C,D,E,F为圆心,都以OA为半径画弧即可得到图案.(2)把圆五等分,分别以五等分点A,B,C,D,E为圆心,都以AB为半径画弧即可得到图案.
1.画一个半径为2 cm的正五边形,再作出这个正五边形的各条对角线,画出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为 .
3.如图,M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON. (1)图(1)中∠MON的度数是________;(2)图(2)中,∠MON的度数是________,图(3)中∠MON的度数是________;
(3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系式: .
(1)图①中∠MON的度数是________;(2)图②中,∠MON的度数是________,图③中∠MON的度数是________;
(3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系式: .
连接OB,OC,△OMB≌△ONC,∠MON=∠BOC.
此方法可将圆任意n等分,所以用该方法可作出任意正多边形,但边数很大时,容易产生较大的误差.
此方法是一种比较准确的等分圆的方法,但有局限性,不能将圆任意等分.
1.已知⊙O如图所示.(1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2) 若⊙O的半径为4,求它的内接正方形的边长.
解:(1) 如图所示,正方形ABCD即为所求.(2) ⊙O的半径为4,四边形ABCD是正方形,所以 AC⊥BD,OA=OB=4,所以 AB=
作直径AC的垂直平分线.
2.如图,正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证:(1) AC//ED;(2) ME=AE.
3.(2020.绥化中考)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点P为 上一点(点P与点D,点E不重合),连接PC,PD,DG⊥PC,垂足为G,∠PDG等 于 度.
解:连接OC,OD,如图所示.∵四边形ABCDE是正五边形,∴∠COD=360º÷5=72º,∴∠CPD=36º.∵DG⊥PC, ∴∠PGD=90°,∴∠PDG=90º-∠CPD=90º-36º=54°.
4.(2020•随州中考)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是( )
A.h=R+r B.R=2r C. D.
解:如图,∵△ABC是等边三角形,∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆,圆心为O.设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;
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