专题12三角函数的图象与性质（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

  专题12  三角函数的图像与性质

专题导航

常考点归纳

常考点01 三角函数的图像变换

【典例1】

1.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（   ）

A．              B．

C．              D．

2.(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则              (　　)

A．   B．   C．     D．

【答案】1.B   2.B

【解析】1.函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为，令，解得，所以所求对称轴的方程为，故选B．

2.解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

【考点总结与提高】

函数图象的平移变换解题策略

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

【变式演练1】

1．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是(   )

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.

【答案】1.D   2.

【解析】1.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．

2.因为，，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.

常考点02 三角函数的图像性质

【典例2】

1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则_________.

2．(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】1.     2.2

【解析】1.由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

2.由图可知，即，所以；由五点法可得，即；

所以．

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，可得的最小正整数为2．

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．

故答案为：2．

【考点总结与提高】

结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.

【变式演练2】

1．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 (　　)

A．   B．

C．   D．

2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A．    B．     C．     D．

【答案】1.D   2.C

【解析】1.由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．

2.由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：，所以函数的最小正周期为

故选：C

常考点03 三角函数的性质及其应用

【典例3】

1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知函数，则（   ）

A．的最小正周期为，最大值为

B．的最小正周期为，最大值为

C．的最小正周期为，最大值为

D．的最小正周期为，最大值为

2．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)关于函数f(x)=有如下四个命题：

①f(x)的图像关于y轴对称．

②f(x)的图像关于原点对称．

③f(x)的图像关于直线x=对称．

④f(x)的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】1.B   2.②③

【解析】1.根据题意有，

所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.

2.对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，命题④错误．

故答案为：②③．

【考点总结与提高】

1．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法

（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

2．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略

（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.

3．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法

（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．

（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验

f（x0）的值进行判断．

（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.

【变式演练3】

1．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

2．设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点

③在单调递增④的取值范围是

其中所有正确结论的编号是 (　　)

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

【答案】1.C   2.D

【解析】1.由题意，故选C．

2.在有且仅有3个极大值点，分别对应，故①正确．

在有2个或3个极小值点，分别对应和，故②不正确．

因为当时，，由在有且仅有5个零点．则，解得，故④正确．

由，得，，所以在单调递增，故③正确．

综上所述，本题选D．

【冲关突破训练】

1．设函数，则（    ）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】D

【解析】∵=，

所以在单调递减，对称轴为，即．

2．已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（    ）

A．        B．       C．       D．

【答案】A

【解析】由题设知，=，∴=1，∴=（），

∴=（），∵，∴=，故选A.

3．已知，函数在单调递减，则的取值范围是(     )

A．   B．     C．    D．

【答案】A

【解析】函数的图像可看作是由函数的图像先向左平移个单位得的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数的减区间是，所以要使函数在上是减函数，需满足，解得．故选A．

4．已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ）

A．11                  B．9                   C．7                   D．5

【答案】B

【解析】因为为函数的零点，为图像的对称轴，所以（，为周期），得（）．又在单调，所以，又当时，，在不单调；当时，，在单调，满足题意，故，即的最大值为9．

5．设函数，则下列结论错误的是（     ）

A．的一个周期为      B．的图像关于直线对称

C．的一个零点为  D．在单调递减

【答案】D

【解析】∵的周期为，，所以A正确；

∵，所以B正确；

设，而，C正确；选D．

6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（  ） 

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.

【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；③函数，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角函数的周期，例如，，所以周期.

8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

9．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数的最小值为______．

【答案】.

【解析】，

，当时，，

故函数的最小值为．

10．已知函数，则的最小值是_________．

【答案】

【解析】，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.

11. 已知函数.

（1）求函数图象的对称轴方程；

（2）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.

【解析】（1）.

令，解得.

故函数图象的对称轴方程为.

（2）易知.

∵，∴，∴，

∴，

即当时，函数的值域为. 

12. 已知向量，函数（）的最小正周期是.

（1）求的值及函数的单调递减区间；

（2）当时,求函数的值域.

【解析】（1） ，又的最小正周期为，∴.∴.

令，得，

∴函数的单调递减区间为.

（2）∵，∴，∴,故的值域为.