专题11三角函数的基本概念、诱导公式与恒等变换（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题11  三角函数的基本概念、诱导公式与恒等变换

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常考点归纳

常考点01 三角函数定义的应用

【典例1】

1．若点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 (　　)

A．cos2α>0     B．cos2α<0          C．sin2α>0          D．sin2α<0

【答案】1.B   2.D

【解析】1.因为点在角的终边上，所以，则，故选：B.

2.   方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D．

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D．

【考点总结与提高】

1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．

2．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.

【变式演练1】

1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（  ）

A．       B．       C．        D．

2.若，则（   ）

A．      B．       C．     D．

【答案】1.B   2.C

【解析】1.由角的终边在直线上可得，，

．故选B

2.知的终边在第一象限或第三象限，此时与同号，

故，选C．

常考点02 三角函数的化简和求值

【典例2】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）（    ）

A． B． C． D．

2．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 (　　)

A．            B．        C．            D．

【答案】1.D   2.A

【解析】1.由题意，.

故选：D.

2.，

，，，解得，

，．故选：A．

【考点总结与提高】

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（一）看角

通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式

（二）看函数名称

看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”

（三）看结构特征

分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等等。

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

【变式演练2】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　)

A．–2 B．–1 C．1 D．2

2.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=（   ）

A．          B．        C．          D．

【答案】1.D    2.B

【解析】1.，，

令，则，整理得，解得，即．故选：D．

2.由，得.

因为，所以.由，得.故选B.

常考点03 三角恒等变换的综合应用

【典例3】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点

③在单调递增④的取值范围是

其中所有正确结论的编号是 (　　)

A．①④     B．②③     C．①②③     D．①③④

【答案】1.C   2.D

【解析】1.由题意，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

2.在有且仅有3个极大值点，分别对应，故①正确．

在有2个或3个极小值点，分别对应和，故②不正确．

因为当时，，由在有且仅有5个零点．则，解得，故④正确．

由，得，，所以在单调递增，故③正确．

综上所述，本题选D．

【考点总结与提高】

（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．

（2）利用公式求周期．

（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．

（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．

【变式演练3】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知，则（    ）

A． B． C． D．

2．函数()的最大值是         ．

【答案】1.B   2.1

【解析】1.由题意可得：，

则：，，

从而有：，即.

故选：B.

2.∵ ，

∴

设，，∴

函数对称轴为，∴

【冲关突破训练】

1．已知点是角的终边与单位圆的交点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，由任意角三角函数的定义可得，，

所以.故选：C.

2.设角的终边经过点，那么等于（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】因为角的终边经过点，所以，所以，

故选：D

3．已知，则的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】，即，所以与异号，

又，所以，所以的终边在第四象限.故选：D

4．（  ）

A．      B．      C．       D．

【答案】D

【解析】原式=

5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又．
故选：A．

6．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（      ）

A．      B．    C．    D．

【答案】B

【解析】，．

，又，，又，，故选B．

7若，则（    ）

A．       B．         C．         D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以,所以,故选D．

8．已知函数，则

A．的最小正周期为，最大值为

B．的最小正周期为，最大值为

C．的最小正周期为，最大值为

D．的最小正周期为，最大值为

【答案】B

【解析】根据题意有，

所以函数的最小正周期为，

且最大值为，故选B.

9．函数的最大值为_________．

【答案】1

【解析】

所以最大值为1

10．已知函数，则的最小值是_____．

【答案】

【解析】解法一 ：因为，

所以，

由得，即，，

由得，即

或，，

所以当（）时，取得最小值，

且．

解法二：因为，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以，

所以的最小值为．

11.已知函数.

（1）求函数的对称中心及最小正周期；

（2）的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若，且，求的值.

【解析】（1）.

由，得最小正周期为.

令，得，

故对称中心为（）.

（2）∵，∴.

∵，，∴，

∵，∴ ，

又∵，∴，

即，即，

∵，∴，

∴，

∵，∴，∴.

∴.

12．已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解析】（1）因为，，所以．

因为，所以，因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，因此．

因为，所以，

因此，．