专题13解三角形（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题13  解三角形

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常考点归纳

常考点01 正弦定理、余弦定理

【典例1】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　)

A． B． C． D．

2．（2021年上海卷第18题）在中，已知

（1）若，求的面积；

（2）若，求的周长.

【考点总结与提高】

利用正、余弦定理求边和角的方法：

（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．

常见结论：

（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．

（2）三角形中的三角函数关系：

；  ；   ；   .

【变式演练1】

1．的内角的对边分别为，若，，，则         ．

2.的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.

(1)求；

(2)若，，求的周长．

常考点02 三角形中的几何计算

【典例2】

1.（2021年浙江卷）在中，，，M是BC的中点，，则AC=　  　，　  　．

2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．

【考点总结与提高】

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

【变式演练2】

1．在平面四边形中，，B，则的取值范围是          ．                   

2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若，，求和的长．

常考点03 解三角形在实际问题中的应用

【典例3】

1．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()              (　　)

A．346 B．373 C．446 D．473

2.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．

【考点总结与提高】

解三角形应用题的两种情形：

（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

【变式演练3】

1.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A．5 m      B．15 m    C．5 m      D．15 m

2．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则AB=______km.．

常考点04 解三角形面积有关的问题

【典例4】

1．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为　　．

2.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

【考点总结与提高】

（1）求三角形面积的方法

①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

（2）三角形中，已知面积求边、角的方法

三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

【变式演练4】

1．的内角的对边分别为，若的面积为，则 (　　)

A． B． C． D．

2．已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．

【冲关突破训练】

1．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于(　　)

 A．3　　　 B．6     C．2　　　 D．3

2．在中，，，，则 (　　)

A． B． C． D．

3.在△ABC中,,边上的高等于,则 (　　)

A． B． C． D．

4．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= (　　)

A．5 B． C．2 D．1

5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝3，c＝2，则中线AD的长为(　　)

A.　　　 B．      C．　　  D．

6.在中，内角所对的边分别为，若，，则的值为

A．1      B．      C．     D．

7．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

8．中，，则的面积为___．

9．已知外接圆的半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为____________．

10．在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为          .

11.（2021年天津卷）在，角所对的边分别为，已知，．

（1）求a的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

12．如图，在中，，，P为内一点，

(1)若，求；

(2)若，求．