专题21不等式选讲（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题21  不等式选讲

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常考点归纳

常考点01 绝对值不等式的求解

【典例1】

1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：

（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：

由，解得，∴不等式的解集为．

2．（2020江苏23）设，解不等式．

【答案】

【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．

【解析】或或，

或或，∴解集为．

【考点总结与提高】

1．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;

|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.

(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

【变式演练1】

1．已知函数．

（I）在图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【解析】(1)如图所示：

(2) ，．

当，，解得或，；

当，，解得或，或；

当，，解得或，或．

综上，或或，，解集为．

2．已知.

（1）画出函数的图象；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）函数的图象如图所示；

（2）将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，

的图象与的图象的交点坐标为，

由图象可知当且仅当时，的图象在的图象下方，

不等式的解集为．

常考点02 含绝对值不等式的恒成立问题

【典例2】

1.（2021年全国甲卷）已知函数，.

（1）画出和的图像.

（2）若，求的取值范围.

【答案】见解析

【解析】易知

则和的图像为

（1）由（1）中的图可知，是左右平移个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至的右支过点曲线，上的点为临界状态，此时右支的解析式为，由点在可知，解得，若要满足题意，则要再向左平移，则,则的取值范围为

2.（2021年全国乙卷）已知函数.

（1）当时，求不等式≥的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当时，≥≥，

当≤时，不等式≥，解得≤；

当时，不等式≥，解得；

当≥时，不等式≥，解得≥.

综上，原不等式的解集为.

（2）若，即，

因为≥（当且仅当≤时，等号成立），所以，所以，即或，解得.

【考点总结与提高】

1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.

2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.

(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.

(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.

3．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a,f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.

【变式演练2】

1．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．

【解析】（1）当时，．

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或．

（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．

2．已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

【解析】（1）当a=1时，．

当时，；当时，，∴不等式的解集为．

（2）因为，∴．

当，时，

∴的取值范围是．

常考点03 不等式的证明

【典例3】

1．（2020全国Ⅲ文理23）设．

（1）证明：；

（2）用表示的最大值，证明：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【解析】（1）证明：

即

（2）证法一：不妨设，由可知，，

，，

当且仅当时，取等号，，即．

证法二：不妨设，则而

矛盾，∴命题得证．

2．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，又，

故有，∴．

（2）因为为正数且，故有

=24．

∴．

【考点总结与提高】

1．基本不等式

(1)基本不等式:如果a,b>0,那么，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.

(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

2．柯西不等式

(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.

(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.

(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么.

(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(+…+)(+…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

3．证明不等式的基本方法

(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法;(5)数学归纳法.

【变式演练3】

1．设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【解析】（1）由于，

故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．

∴的最小值为．

（2）由于

，

故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．

由题设知，解得或．

2．已知，，，证明：

(1)；

(2) ．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【解析】（1）．

（2）∵，

∴，因此．

【冲关突破训练】

1．设函数=

（Ⅰ）证明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

【解析】（I）由，有，∴≥2．

（Ⅱ）．

当时＞3时，=，由＜5得3＜＜；

当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．

综上：的取值范围是（，）．

2．设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．

【解析】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得  或．

故不等式的解集为或．

( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组  或，

即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．

3．已知．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时不等式成立，求的取值范围．

【解析】(1)当时，，即

故不等式的解集为．

(2)当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，∴，故．

综上，的取值范围为．

4．设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

【解析】(1)当时，

可得的解集为．

(2)等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，∴的取值范围是．

5．设函数．

(1)画出的图像；

(2)当时，，求的最小值．

【解析】(1)

的图像如图所示．

(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．

6．已知函数，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．

【解析】（1）当时，不等式等价于．①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而，∴的解集为．

（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．

又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．

7．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．

【解析】（1），

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得．

∴的解集为．

（2）由得，而

，

且当时，，故m的取值范围为．

8．已知函数

（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当时，．

解不等式，得，因此的解集为．

（Ⅱ）当时，

，当时等号成立，

∴当时，等价于．  ①

当时，①等价于，无解．

当时，①等价于，解得．

∴的取值范围是．

9．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得．

∴的解集为．

（Ⅱ）有题设可得，，∴函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．∴的取值范围为．

10．已知函数，M为不等式的解集．

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

【解析】（I）当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

（Ⅱ）当时，有，即， 

则，则，即，证毕．

11．设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若>，则；

（Ⅱ）是 的充要条件．

【解析】（Ⅰ）∵，，

由题设，得，因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．

因为，∴，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若， 则，即．

因为，∴，于是．

因此．

综上是的充要条件．

12．设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）得，

由题设得，即，

∴，即．

（Ⅱ）∵，∴，

即，∴．