专题13解三角形（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题13  解三角形

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常考点归纳

常考点01 正弦定理、余弦定理

【典例1】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　)

A． B． C． D．

2．（2021年上海卷第18题）在中，已知

（1）若，求的面积；

（2）若，求的周长.

【答案】1.A   2.（1）；（2）

【解析】1.在中，，，

根据余弦定理：

，可得 ，即

由，故．

故选：A．

2.（1）由已知得，

（2）

因为，，，

所以

因为，所以

所以

【考点总结与提高】

利用正、余弦定理求边和角的方法：

（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．

常见结论：

（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．

（2）三角形中的三角函数关系：

；  ；   ；   .

【变式演练1】

1．的内角的对边分别为，若，，，则         ．

2.的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.

(1)求；

(2)若，，求的周长．

【答案】1.   2.（1）；（2）

【解析】1.由平方关系可得：

所以

再由正弦定理得：．

2.（1）由题设得，即

由正弦定理得．故．

（2）由题设及（1）得

所以，故．由题设得，即．

由余弦定理得，即，得．

故的周长为．

常考点02 三角形中的几何计算

【典例2】

1.（2021年浙江卷）在中，，，M是BC的中点，，则AC=　  　，　  　．

2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．

【答案】1.；．   2.

【解析】1.在中，，

法一：在中，

 在中，

法二：在中，，     

在中，   

2.，，，由勾股定理得，同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，在中，，，，

由余弦定理得．

故答案为：．

【考点总结与提高】

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

【变式演练2】

1．在平面四边形中，，B，则的取值范围是          ．                   

2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若，，求和的长．

【答案】1.（，）   2.(1)   ;（2），

【解析】1.如图所示，

延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）．

2.（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．

（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得

，．

．由（Ⅰ）知，所以．

常考点03 解三角形在实际问题中的应用

【典例3】

1．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()              (　　)

A．346 B．373 C．446 D．473

2.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．

【答案】1.B   2.150

【解析】1.过作，过作，

故，

由题，易知为等腰直角三角形，所以．

所以．

因为，所以

在中，由正弦定理得：，

而，

所以，所以．

故选：B．

2.在三角形中，，在三角形中，，解得，

在三角形中，，故．

【考点总结与提高】

解三角形应用题的两种情形：

（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

【变式演练3】

1.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A．5 m      B．15 m    C．5 m      D．15 m

2．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则AB=______km.．

【答案】 1.D    2.

【解析】1. 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．

2.在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝ km.

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，

∴AB＝(km)，

常考点04 解三角形面积有关的问题

【典例4】

1．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为　　．

2.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

【答案】1.    2.（1）；（2）

【解析】1.由余弦定理得，所以，即，

解得（舍去），所以，

2.（1）由题设及正弦定理得．

因为，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于为锐角三角形，故，，

由（1）知，所以，故，从而．

因此，面积的取值范围是．

【考点总结与提高】

（1）求三角形面积的方法

①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

（2）三角形中，已知面积求边、角的方法

三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

【变式演练4】

1．的内角的对边分别为，若的面积为，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

解析：由余弦定理可得，

所以由

所以，而，所以，故选C．

2．已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．

【答案】

解析:由且 ,

即,由及正弦定理得:

∴,故,∴,∴

,∴,

【冲关突破训练】

1．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于(　　)

 A．3　　　 B．6     C．2　　　 D．3

【答案】 B

【解析】  由正弦定理得＝， ∴a＝＝＝6.

2．在中，，，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，所以，故选A．

3.在△ABC中,,边上的高等于,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设边上的高线为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.

4．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= (　　)

A．5 B． C．2 D．1

【答案】B

【解析】有面积公式得：，解得，因为钝角三角形，所以，

由余弦定理得：，所以，选B。

5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝3，c＝2，则中线AD的长为(　　)

A.　　　 B．      C．　　  D．

【答案】 D

【解析】 如图，由余弦定理得AB2＝DA2＋DB2－2DA·DBcos∠ADB，

AC2＝DA2＋DC2－2DA·DCcos∠ADC，

两式相加得AB2＋AC2＝2DA2＋DB2＋DC2，

即22＋32＝2DA2＋22＋22，∴2DA2＝5.∴DA＝.

6.在中，内角所对的边分别为，若，，则的值为

A．1      B．      C．     D．

【答案】D

【解析】由，结合正弦定理，可得，

即，

由于，所以，

因为0＜A＜π，所以．

又，由余弦定理可得，

即，所以.

故选D．

7．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

【答案】 30＋30

【解析】在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理得＝，

∴BP＝＝30(＋)，

∴树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.

8．中，，则的面积为___．

【答案】

【解析】根据得，

，

所以

=．

9．已知外接圆的半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为____________．

【答案】

【解析】由正弦定理可得：，

，解得：，

由余弦定理可得：，

解得：或（舍去），.

10．在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为          .

【答案】

【解析】如图.

在中，，

整理得，

∴，当且仅当AD=DC时取等号，

∴的面积，

∴的面积的最大值为．

11.（2021年天津卷）在，角所对的边分别为，已知，．

（1）求a的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）因为，由正弦定理可得，

，；

（2）由余弦定理可得；

（3），，

，，

所以.

12．如图，在中，，，P为内一点，

(1)若，求；

(2)若，求．

【答案】（1）　　（2）

【解析】（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；

（Ⅱ）设，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化简得，，

∴=，∴=．